La existencia de un mapa en un espacio de Hilbert

Question

Deje $H$ ser un infinito-dimensional espacio de Hilbert, $B$ ser su unidad de pelota: $B=\{x\in H: \, \|x\|\leq 1\}$.

¿Existe un mapa continuo $f:H\to H$ tal que $f(f(x))=x$ $\forall x\in H$, $f$ no tiene puntos fijos, y $f(B)$ es ilimitado?

Answer 1

Tal involuciones $f$ no existen. Voy a explicar la construcción sin la parte dedicada a la $f(B)$ (esta restricción no parece ser muy natural); si hay interés puedo añadir más detalles relativos a $f(B)$. Primero de todo, hasta el infinito dimensional espacio de Hilbert $H$ es diffeomorphic a su unidad esfera $S$, ver la discusión y las referencias a Bessaga del teorema en este MSE post. Deje $g: S\to H$ ser un diffeomorphism. Ahora, considere la involución $i: S\to S$, $i(x)=-x$. Está claro que $i$ no tiene puntos fijos. Por último, tomar la composición de la $f= g \circ i \circ g^{-1}$. Este es un auto-diffeomorphism de $H$ que es involutiva y no tiene puntos fijos.

Como para el finito-dimensional caso:

Cada primer fin de periódico auto-homeomorphism de un finito-dimensional contráctiles CW complejo de $X$ tiene un punto fijo.

Para, de lo contrario, el grupo de $G=Z/p$ ($p$ es primo) tendría un finito-dimensional $K(G,1)$, es decir, $X/G$, lo que implicaría que $G$ ha finito cohomological dimensión. Pero todos finito no trivial grupos han infinito cohomological dimensión (esto se explica, por ejemplo, en el caso Brown del libro "Cohomology de grupos"). Ahora aplicar este resultado a $X=R^n$$p=2$.