Me di cuenta de que hay dos soluciones para $(-1)^{14/2}$:
- $((-1)^{14})^{1/2} = 1$
- $(-1)^{14/2}=(-1)^7=-1$
¿Qué estoy haciendo mal?
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¿Demasiados anuncios?
Brian Tung
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No estás haciendo nada malo, per se, el problema es que en el fin de definir la raíz cuadrada como un solo valor de la función en $\mathbb{R}_{\geq 0}$, (un poco arbitrariamente) elegir el positivo valor. Por lo tanto $-1$ $1$ plaza de a $1$, pero la raíz cuadrada de $1$ solo $1$, no $-1$. Esto se convierte en un poco más transparente si se sustituye $14$$2$:
$$ [(-1)^2]^{1/2} = 1^{1/2} = 1 \no= -1 = (-1)^1 = (-1)^{2/2} $$
En consecuencia, la identidad de $(a^b)^c = a^{bc}$ no posee generalmente negativos $a$ si $b$ $c$ no son ambos enteros.
En números reales, la definición estándar de los exponentes racionales sólo permite totalmente reducción de fracciones en el exponente. Ejemplo de definición de Sullivan del Álgebra de Colegio:
Definición. Si $a$ es un número real y $m$ $n$ son enteros no contiene factores comunes, con $n \geq 2$, luego $$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]a\right)^m$$ provided that $\sqrt[n]{a}$ existe.
Tenemos dos comentarios acerca de esta ecuación:
- El exponente $\frac mn$ debe ser en términos mínimos y $n$ debe ser positivo.
- En la simplificación de la expresión racional $a^{m/n}$, $\sqrt[n]{a^m}$ o $\left(\sqrt[n]a\right)^m$ puede ser utilizado, de la elección en función de que es más fácil para simplificar. En general, tomando la raíz primera, como en $\left(\sqrt[n]a\right)^m$, es más fácil.
La primera sugiere la transformación, $((-1)^{14})^{1/2} = 1$, por lo tanto es nula en virtud de esta definición, ya que no permite separar el numerador y el denominador cuando tienen un factor común.
Por lo tanto, sólo la segunda transformación, $(-1)^{14/2}=(-1)^7=-1$, lo que reduce el exponente racional en primer lugar, es válido en virtud de una real definición de número como este.
Gyro Gearloose
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La raíz del problema es que el $\sqrt{ 1\;}=+1$, de forma inequívoca, por definición, sino $1^\frac12=(e^{2\pi i k})^{\frac12}=e^{\pi i k}\;\;\forall k\in\mathbb Z$ no, esto se traduce a $\pm1$ dependiendo $k$ ser par o impar.
Tomando raíces, usted tiene que elegir una rama, como la comúnmente aceptada la rama de $\sqrt x \ge 0$$x\ge0$. Podríamos haber elegido la otra rama, pero se llega en un gran problema si usted mezcla los.
Bernard
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(Uno de) el riguroso de las definiciones, y la más simple, de $\;a^{\tfrac{14}2}$ es $\;\mathrm e^{\tfrac{14}2\ln a}$, por lo que se supone $a>0$ – y evita este tipo de mala conducta. $a^x$ negativo de la $a$ está definido sólo para los exponentes de números enteros, porque tiene un significado intuitivo.
Toby
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El dominio de la función $f(x) = (-1)^x$ es el conjunto de todos los números enteros. Si $x$ no es un entero, la función devuelve un no-valor real.
En concreto, se puede utilizar el estándar de reglas de exponentation para este problema debido a que la base es negativa. Como @hardmath ha aclarado, se debe "forzar" un exponente del número entero en un valor, como exponentes fraccionarios no están permitidos. Por lo tanto, la segunda solución dada en el post original es correcta, y la primera no es válido.
