Cómo probar que el número de $1+4a_{n}a_{n+1}$ es un cuadrado perfecto.

Question

Una secuencia de enteros $\{a_{n}\}$ está dado por las condiciones $a_{1}=1, a_{2}=12,a_{3}=20$,and $$a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_{n}$$

mostrar que

para cada postive entero $n$, el número de $1+4a_{n}a_{n+1}$ es un cuadrado perfecto.

desde el $$r^3=2r^2+2r-1$$ entonces $$r^3-2r^2-2r+1=$$ $$(r+1)(r^2-3r+1)=0$$ así $$r_{1}=-1,r_{2,3}=\dfrac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$

por lo $$a_{n}=A(r_{1})^n+B(r_{2})^n+C(r_{3})^n$$ donde $A,B,C$ es constante.

Entonces caí seguir es muy feo,tal vez alguien tiene los métodos simples.Gracias

Answer 1

Sugerencia. Definir $$b_1=7\quad\hbox{and}\quad b_n=b_{n-1}+2a_n\ .$$ A continuación, empezar por mostrar de forma inductiva que $$b_n=a_{n+1}+a_n-a_{n-1}$$ para $n\ge2$.

Edit. Aún más fácil: utilizando la recurrencia muestran que $$(1+4a_na_{n+1})-(1+4a_{n-1}a_n) =(a_{n+1}+a_n-a_{n-1})^2-(a_n+a_{n-1}-a_{n-2})^2\ ,$$ así que por inducción $$(1+4a_na_{n+1})-(a_{n+1}+a_n-a_{n-1})^2=0\ .$$

Answer 2

Dada la secuencia $a_{n+3} = 2 a_{n+2} + 2 a_{n+1} - a_{n}$ es evidente que una solución de la forma $a_{n} \approx r^{n}$ conduce a $r^{3} - 2 r^{2} - 2r + 1 = 0$ o $(r+1)(r^{2} - 3r + 1) = 0$ tiene raíces $r_{1} = -1$, $r_{2,3} = (3 \pm \sqrt{5})/2$. Ahora se ve que $r_{2,3} = (1 \pm \sqrt{5})^{2}/4$ y \begin{align} a_{n} = A (-1)^{n} + B \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{2n} + C \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^{2n}. \end{align} Dado que los coeficientes asociados con B y C son elementos de Fibonacci y Lucas números de la expresión de $a_{n}$ puede ser visto en el formulario \begin{align} a_{n} = A(-1)^{n} + B \ F_{2n} + C \ L_{2n}. \end{align} Es más fácil ahora para encontrar los coeficientes mediante el uso de $a_{1} = 1$, $a_{2} = 12$, y $a_{3} = 20$ se ve que \begin{align} a_{n} = 3 (-1)^{n} - \frac{F_{2n}}{2} + \frac{3 L_{2n}}{2} = \frac{1}{2} \left( 3 L_{n}^{2} - F_{2n} \right) = \frac{1}{2} \ L_{n}(3 L_{n}-F_{n}) = L_{n} (L_{n} +F_{n-1}). \end{align} Ahora vamos a $S_{n} = 1 + 4 a_{n} a_{n+1}$ para que: \begin{align} S_{n} = \left[ 2 L_{n} (L_{n+1} + F_{n}) + (-1)^{n} \right]^{2} \end{align} es un número entero al cuadrado.