El modelo de Solovay, algunas correspondencias y nociones indefinidas

Question

Estoy estudiando el modelo de Solovay en el que todo conjunto de reales es medible por Lebesgue (bajo el supuesto de la existencia de un cardinal inaccesible).

Estoy siguiendo el libro de Jech "Teoría de Conjuntos", una tesis de maestría de mi universidad y el artículo original. He encontrado algunos problemas:

1. Me resulta más fácil trabajar con $2^\omega$ (el conjunto de funciones de $\omega$ a 2) en lugar de $\mathbb{R}$ al construir códigos Borel y forzar con reales aleatorios. Sea $Fn(\omega,2) = \{s \subset \omega \times 2: |s| < \omega\ and\ s\ is\ a\ function\}$ y $u_s = \{f \in 2^\omega: s \subset f\}$ y que $\tau$ sea la topología de $2^\omega$ generada por las aperturas básicas $u_s$ . Sea $Bor (2^\omega)$ sean los borelianos de $2^\omega$ (es decir, el menos $\sigma-algebra$ generado por la topología $\tau$ ). Ahora dejemos que $m: P(2) \rightarrow \{0, 1, 2\}$ sea una medida como la siguiente: $$m(\emptyset) = m(\{0\}) = m({1}) = \frac{1}{2} m(2) = 1$$ Sólo hay una $\mu : Bor(2^\omega) \rightarrow [0,1]$ que es regular y satisface $$\mu(u_s) = \Pi_{\alpha \in dom (s)} m(s(\{\alpha\}))$$ donde $s \in Fn(\omega,2)$ . Si $M,N$ son modelos transitivos de ZFC, $M \subset N$ y $A \in Bor(2^\omega)^M$ entonces $\mu(A)^M = \mu(A^*)^N$ donde $A^*$ es la imagen IN $N$ de un código borel de $A$ .

Mi primera pregunta es: Una vez que la correspondencia $A \rightarrow A^*$ conserva la medida en $2^\omega$ para los modelos transitivos de ZFC, ¿cómo puedo garantizar que la medida de Lebesgue sobre los reales también se conserva?

Además, dejemos que $A_1, A_2 \in Bor(2^\omega)$ y decimos que son equivalentes si $\mu(A_1 \Delta A_2)=0$ . Ahora dejemos que $[A]$ la clase de equivalencia correspondiente y $B_m = \{[A]: A \in Bor(2^\omega)\ and\ \mu(A) > 0\}$ . Definir una orden $\leq$ en $B_m$ por $[A] \leq [B]$ si $\mu(A - B) = 0$ . Reclamación: $B_m$ tiene la condición de cadena contable.

De nuevo, ¿cómo puedo garantizar que el correspondiente $B_m$ para la medida de Lebesgue tiene la condición de cadena contable?

En general, mi primer problema es cómo justificar que los resultados de $2^\omega$ sigue para los reales con la medida de Lebesgue y la topología habitual también.

2.La noción de " $M[x]$ ", el modelo menos transitivo de ZFC que contiene $x$ . Sea $M$ sea un modelo de ZFC y $S$ un conjunto de reales. $S$ se dice que Soloval sobre $M$ si existe una fórmula $\phi$ con parámetros en $M$ tal que para todos los reales $x$ , $$s \in S \leftrightarrow M[x] \models \phi (x)$$ ¿Cómo puedo garantizar que ese mínimo modelo existe? ¿O esta definición tiene sentido CUANDO este modelo existe?

Si tengo un $G$ un filtro $B_m^M$ -Filtro genérico sobre $M$ . Podemos construir un real aleatorio $h$ y si tenemos un real aleatorio $h$ podemos construir un modelo genérico $G$ que contiene $h$ y es el menor modelo de ZFC que contiene $h$ . Esta es una motivación para definir $M[G] = M[h]$

Sin embargo, vuelvo a encontrar el uso de estas nociones indefendibles: Dejemos que $Lev(\kappa, \omega_1)$ sea el colapso de Levy del cardinal inaccesible $\kappa$ a $\omega_1$ y que $L$ sea el álgebra booleana completa relacionada con $Lev(\kappa, \omega_1$ . (Lemma del factor) Sea $G$ un $L$ -Filtro genérico sobre $M$ y $X \in M[G]$ con $M[G] \models X\ is\ a\ countable\ set\ of\ ordinals$ . Luego está $H$ un $L$ -generico sobre $M[X]$ tal que $M[X][H] = M[G]$

De nuevo, ¿cómo puedo garantizar que este modelo siempre existe? O el lema del factor afirma que existe tal modelo $M[X]$ y también $M[X][H] = M[G]$ ?

Tal vez sean preguntas ingenuas/tontas, pero realmente no puedo entender especialmente la segunda duda ya que tenemos que construir cuidadosamente la G genérica y afirmarle un nombre, etc.

Gracias.

Answer 1

Estas son buenas preguntas, pero abordarlas adecuadamente es delicado y lleva algo de tiempo. Aquí sólo repaso los esbozos. Hay que ser algo cuidadoso. Por ejemplo, para abordar la primera pregunta, la dificultad clave es precisar lo que se quiere decir. (No quiero decir que esto sea un fallo de su presentación, sino que es una dificultad matemática inherente a la pregunta).

Dado $M\subset N$ y un conjunto de reales $A$ en $M$ no es necesariamente el caso de que exista un conjunto de reales $A^*$ en $N$ que "corresponde" a $A$ en cualquier sentido razonable. Por supuesto, en algunos casos, existe tal $A^*$ . Por ejemplo, $A$ podría ser un conjunto definible en algún sentido suficientemente absoluto. (Los conjuntos de Borel dados por códigos son un buen ejemplo de lo que quiero decir con esto. Por ejemplo, los códigos son lo suficientemente robustos como para que si un modelo piensa en un real $r$ que pertenece al conjunto dado por un código $t$ Entonces, en efecto $r$ está en el conjunto codificado por $t$ en cualquier modelo exterior también). Hoy en día, formalizamos esto en general a través de la teoría de conjuntos universalmente Baire que es suficiente, al menos cuando tratamos entre modelos $M$ y sus extensiones de forzamiento. Aquí, un conjunto es universalmente Baire si hay árboles de clase adecuados $T,S$ tal que sus proyecciones son conjuntos complementarios de reales en cualquier extensión de forzamiento en la que se computen, y $T$ proyectos para $A$ . Se puede comprobar que si $T,S$ y $T',S'$ tienen esta propiedad entonces, en cualquier extensión forzada, las proyecciones de $T$ y $T'$ coinciden, por lo que esta noción es independiente del par específico de árboles que utilicemos como testigos; además, dado cualquier $r$ en alguna extensión forzada, si $r$ está en la proyección de $T$ en esa extensión, entonces de hecho $r$ está en la proyección de $T$ en cualquier extensión donde $r$ pertenece.

conjuntos de Borel y de hecho $\Sigma^1_1$ los conjuntos son universalmente Baire (demostrablemente en $\mathsf{ZF}+\mathsf{DC}$ ), pero en presencia de grandes supuestos cardinales razonables la noción va mucho más allá. La cuestión es que si $A$ es universalmente Baire, ahora tenemos una interpretación inequívoca de lo que queremos decir con $A$ Si trabajamos en $M$ o en una extensión de $M$ Así que ahora podemos abordar la cuestión.

Independientemente de que utilicemos esta formalización u otro enfoque, lo que tenemos es que, mientras $A$ tiene una interpretación razonablemente robusta, dado un código Borel en $M$ para un conjunto $B$ , si $B\subseteq A$ en $M$ entonces lo mismo ocurre en cualquier modelo externo donde $A$ tiene sentido. Del mismo modo, si en lugar de $B\supseteq A$ . Ahora recordemos que la medida de Lebesgue es regular (demostrablemente en $\mathsf{ZF}+\mathsf{DC}$ ), por lo que (siempre que $A$ es medible) la medida de $A$ coincide con el sumo de las medidas de los conjuntos compactos contenidos en $A$ y con el mínimo de las medidas de los conjuntos abiertos que contienen $A$ . Como estos dos números son iguales, entonces la medida de $A$ también es independiente del modelo en el que se calcule.

La razón de que estos dos números coincidan es que si $B\subseteq A\subseteq B'$ y $B,B'$ son de Borel, entonces sabemos que $\mu(B)\le\mu(B')$ . Por lo tanto, el supremum de las medidas de subconjuntos compactos de $A$ es como máximo el mínimo de las medidas de los superconjuntos abiertos de $A$ . Pero ya en el modelo de tierra tenemos que estos dos números coinciden. En cualquier modelo exterior $N$ , los conjuntos de Borel del modelo de tierra bastan para verificar que estos dos números también coinciden (precisamente, porque la medida de los conjuntos de Borel es absoluta).

Esencialmente, el mismo argumento muestra que la condición de cadena contable es válida para el álgebra de conjuntos medibles de Lebesgue. La cuestión es que cualquier conjunto medible de Lebesgue tiene la misma medida que un subconjunto de Borel del mismo (la unión contable de una secuencia apropiada de subconjuntos compactos), y este conjunto se puede elegir explícitamente, por lo que no hay problemas con cantidades limitadas de elección aquí. Pero entonces, si el álgebra de conjuntos medibles de Lebesgue tuviera una anticadena incontable, los correspondientes subconjuntos de Borel también formarían una anticadena, y esto sería una contradicción.

Por supuesto, la moraleja de todo esto es que la dificultad clave aquí no es la transferencia de los resultados de los conjuntos de Borel a los conjuntos medibles de Lebesgue una vez que existen buenos "dispositivos de codificación", sino más bien, la existencia real de estos dispositivos de codificación. He mencionado los conjuntos universales de Baire, pero su teoría se ha desarrollado más recientemente que los resultados de Solovay, y de todos modos requiere algunos grandes supuestos cardinales para llevarnos más allá de $\Sigma^1_1$ conjuntos. Por eso Solovay trabaja con conjuntos definibles a partir de una secuencia de ordinales, utilizando la secuencia y la definición como dispositivo de codificación, y por eso necesita resultados sobre propiedades agradables del colapso de Levy, para poder argumentar que estos dispositivos de codificación preservan suficientes propiedades entre los modelos para que los argumentos anteriores puedan llevarse a cabo.

---

También se pregunta por $M[x]$ . Esto no es ambiguo y siempre está definido (pero la definición parece más difícil de localizar de lo que cabría esperar): Es $\bigcup_{\alpha\in\mathsf{ORD}} L(\{x\}\cup (V_\alpha\cap M))$ donde, si $M$ es un conjunto transitivo y no una clase que contiene todos los ordinales, " $\mathsf{ORD}$ " es realmente $\Omega=\mathsf{ORD}^M$ y " $L(T)$ " es realmente $L_\Omega(T)$ . Para cualquier $x$ , este es un modelo de $\mathsf{ZF}$ (si $M$ es un modelo de conjunto, restringimos a los conjuntos $x$ que pertenecen a alguna extensión forzada de $M$ ). La elección puede fallar en general, pero se mantiene si $x$ es un conjunto de ordinales. Cualquier real puede ser visto como un conjunto de ordinales (de hecho, los números naturales), por lo que $M[x]$ es un modelo de elección.

Existe un resultado general que asegura que si $M$ es un modelo de $\mathsf{ZFC}$ , $N=M[G]$ es una extensión forzada de $M$ , $x\in N$ y $M[x]$ es un modelo de elección, entonces $M[x]$ es de hecho una extensión forzada de $M$ . Además, si $\mathbb P$ es el álgebra booleana completa asociada al poset de forzamiento que $G$ es genérico para más de $M$ , entonces podemos factorizar $\mathbb P=\mathbb P_1*\dot{\mathbb Q}$ y $M[x]=M[G']$ para algunos $G'$ genérico sobre $M$ para $\mathbb P_1$ (y, por supuesto, $M[G]=M[G'][H]$ donde $H$ es genérico para $\dot{\mathbb Q}_{G'}$ en $M[G']$ ).

Solovay es un escritor fantástico y muy cuidadoso, pero el artículo que estás leyendo es uno de los primeros artículos no triviales sobre el forzamiento, por lo que el lenguaje en él puede ser un poco menos amigable que en artículos más recientes. Además del libro de Jech, te sugiero que leas las secciones pertinentes del excelente libro de Kanamori El infinito superior donde también se discute en detalle este material, o en Bartoszyński -Judah Teoría de conjuntos: Sobre la estructura de la línea real .