Es una función necesariamente medibles, dado que todos los de su nivel de conjuntos son medibles?

Question

Deje $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ ser una función tal que el conjunto de $$T_{\alpha} \equiv \{ x \in \mathbb{R}^n : f(x) = \alpha\}$$ is measurable $\forall \alpha \in \mathbb{R}$. Is $f$ mensurable?

Aquí está la prueba de que he esbozado, pero me gustaría saber si estoy en el camino correcto o no.

Desde $T_\alpha$ es medible $\forall \alpha \in \mathbb{R}$, el conjunto de $$T^{+}_{\beta} \equiv \mathbb{R}/\bigcup_{\alpha = \beta}^{+\infty}T_{\alpha} = \{x \in \mathbb{R} : f(x) < \beta\}$$ is also measurable $\forall \beta \in \mathbb{R}$, therefore $f$ es medible.

Answer 1

Deje $A \subset [0,1]$ ser un no-medibles conjunto. Set $f(x) = x$ $x \in A$ $f(x) = e^x+2$ lo contrario. A continuación, $f$ satisface sus suposiciones, ya que es uno-a-uno. Pero $f^{-1}([0,1])$ es no medible.

Answer 2

Me gustaría saber si estoy en el camino correcto o no.

Por desgracia, no. Otros ya han proporcionado contraejemplos, así que ahora sabes que tu conjetura es falsa, y que su prueba tanto, debe contener un paso en falso. En particular, la prueba de que los estados $$\bigcup_{\alpha = \beta}^{+\infty}T_{\alpha}$$ es medibles ya que cada una de las $T_\alpha$ es, pero este razonamiento paso es falso.

De hecho, el argumento de arriba solo tiene para los contables de los sindicatos, y la unión de arriba no es contable: se trata de un conjunto para cada una de las $\geq \beta$.

Si cualquier unión (sin tamaño límites) de conjuntos medibles es medible, entonces todos los conjuntos serían medibles, siempre que los embarazos únicos. De esta manera se sigue por el trivial de la unión $$A = \bigcup_{a\in A} \{a\}$$

Answer 3

La respuesta a la pregunta como se dijo es que no.

Como contraejemplo, tome $g(x)$ a ser la característica de la función de cualquier no-medibles set $A$. Luego, se definen $f(x) = g(x) + x$. Tenga en cuenta que cualquier conjunto de nivel tiene más de dos elementos y por lo tanto es de medida $0$.