¿En qué consiste realmente la mecánica cuántica?

Question

Esta pregunta puede parecer muy tonta, así que lo siento si es así. Haré lo posible por aclarar mi punto de vista aquí. Antes de explicar, sólo para aclarar, no estoy confundido por las Matemáticas involucradas. He empezado ahora a estudiar Análisis Funcional, pero tengo una formación razonable en Matemáticas. Lo que me confunde es cuál es la idea general de la Mecánica Cuántica.

Antes de empezar el curso de Física siempre oí decir que la Mecánica Cuántica consistía en describir los fenómenos microscópicos (electrones, átomos, etc.) para poder entender la estructura de la materia.

Desde que empecé la carrera de Física, hace unos años, hice algunos cursos de introducción a la Física moderna y a la Mecánica Cuántica. En esos cursos lo principal que se destacaba eran dos puntos:

1. La necesidad de la Mecánica Cuántica, es decir, las situaciones en las que la Mecánica Clásica no pudo describir los fenómenos y predecir las cosas, se vio sobre todo en los experimentos que estudiaban la estructura de la materia. En otras palabras, la necesidad de la Mecánica Cuántica sólo se vio cuando se trataba de fenómenos microscópicos.

2. La idea básica en la que se basa la Mecánica Cuántica es la dualidad onda-partícula. Así, parece que las partículas de estos fenómenos microscópicos se comportan como ondas. Esas ondas de materia tienen una interpretación directa en términos de amplitudes de probabilidad.

En otras palabras, esos cursos introductorios me llevaron a pensar que la Mecánica Cuántica consiste en tratar con ondas de materia gobernadas por la ecuación de Schrödinger para estudiar fenómenos microscópicos.

Por otro lado, este semestre estoy haciendo un curso más serio sobre Mecánica Cuántica. Una de las principales cosas en las que se ha insistido hasta ahora es en la marcada distinción entre funciones de onda y kets y también entre el espacio de funciones y el espacio de estados.

Ya he preguntado sobre las funciones de onda y los kets aquí y sobre el espacio de funciones y el espacio de estados aquí . Creo que he captado la idea general: un ket es un vector de estado. Es decir, es un objeto que codifica toda la información disponible de un sistema. El punto principal es que el ket es no una función de onda, aunque puede relacionarse con una. En otras palabras, hemos abstraído la idea de estado contenida en la imagen de la función de onda.

Aunque esto es bastante bonito, ahora veo una brecha entre la antigua imagen que tenía sobre la Mecánica Cuántica y esta nueva. Pensaba que la Mecánica Cuántica trataba de la dualidad onda-partícula y de las ondas de la materia. Pero ahora, simplemente estamos hablando de estados abstractos de un sistema.

Más que eso, no puedo ver más la conexión con los fenómenos microscópicos. En realidad, este lenguaje de "estados abstractos de un sistema" podría, en mi opinión, utilizarse también en la Mecánica Clásica. En otras palabras, las cosas parecen tan generales, que todavía no estoy siendo capaz de conectar con lo que ya se ha aprendido antes. En verdad, si alguien me preguntara "¿de qué trata la Mecánica Cuántica?" hoy no sabría qué responder.

Teniendo en cuenta todo esto, mi pregunta (que creo que es bastante tonta) es: ¿de qué trata la Mecánica Cuántica? ¿Cómo tender un puente entre el lenguaje abstracto de los vectores de estado que viven en los espacios de Hilbert y la imagen más "intuitiva" de la dualidad onda-partícula y los fenómenos microscópicos?

Answer 1

La mecánica cuántica es, hasta donde sabemos, la forma en que funciona (casi todo) el mundo.

No se trata únicamente de describir las "ondas de materia", aunque esto fue fundamental para su creación. No se trata únicamente de describir fenómenos microscópicos.

Se trata de una concepción fundamental de la "mecánica" (¡está en el nombre!), un intento de describir cómo se comportan los sistemas físicos. Todo sistemas físicos. No existe una frontera entre lo clásico y lo cuántico. Hay una escala suave a partir de la cual la aproximación clásica a la mecánica cuántica se vuelve suficientemente buena, y la descripción cuántica se complica irremediablemente.

Pero la física cuántica es no restringido a un tipo particular de sistemas (bueno, casi - no puede tratar adecuadamente los sistemas en los que la gravedad debe ser descrita completamente de forma cuántica, ¡pero esas situaciones son excesivamente raras!) La física clásica emerge de ella en muchos sentidos, aunque se puede encontrar desacuerdo sobre cómo exactamente lo hace con total generalidad.

Y, en cuanto a las demás preguntas, le pediría que mirara primero la física clásica: ¿De qué se trata? ¿Partículas en movimiento? ¿Olas que se propagan en la superficie de un lago? ¿Los planetas que orbitan alrededor del sol? ¿El electromagnetismo? ¿La teoría cinética y, por tanto, la termodinámica? La respuesta es: Todo lo anterior, pero nada en exclusiva. Se trata de cómo se comportan las cosas.

Incluso se puede describir la física clásica en términos de espacios de Hilbert, se llama Mecánica Koopman-von Neumann . Entonces, tanto la mecánica clásica como la cuántica se unifican al ser descritas por vectores en un espacio de Hilbert, con un álgebra de observables actuando sobre ella, y valores de expectativa dados por la regla de Born. Esencialmente, toda la diferencia entre la mecánica clásica y la cuántica es que los observables de la mecánica cuántica no conmutan, la idea de que es posible que un estado tenga un valor bien definido para $A$ pero no para $B$ .

Answer 2

Para añadir a Respuesta de ACuriousMind aportando mi experiencia personal, yo también tuve las matemáticas de fondo durante muchos años y entendía perfectamente todas las maquinaciones algebraicas de muchos libros de texto pero estaba totalmente desconcertado. Mi problema es que estuve "fuera" de la QM durante mucho tiempo: Tuve un contacto elemental con ella en la carrera de ingeniería, que se enseñaba de una manera muy anticuada (aproximadamente en ochenta años) -todo sobre la dualidad onda-partícula y la partícula a veces, la onda otras, nunca se encontrarán y todo lo demás-, así que cuando tuve que profundizar en la QM profesionalmente (en la óptica cuántica) muchos años después, creo que esperaba que fuera más "chunga" de lo que es. Esta visión de las ondículas esquizofrénicas no es útil, como queda claro cuando se piensa en el mundo como un conjunto de campos cuánticos, las interacciones entre ellos y nada más La lista de los productos que puede encontrar es la siguiente La respuesta realmente hermosa de DanielSank a la pregunta de Physics SE "¿Cuál es la interpretación física de la segunda cuantización?" útil .

Vamos a descifrar la física preguntando de nuevo Pregunta de ACuriousMind te animo a que preguntes y reflexiones en profundidad,

" .... mira primero la física clásica: ¿De qué se trata? ... La respuesta es: Todo lo anterior, pero nada en exclusiva. Se trata de cómo se comportan las cosas".

Cuando se piensa así durante el tiempo suficiente, se comprende que la mecánica clásica es tan descabellada como la QM y que, en última instancia, lo único con lo que podemos sondear la naturaleza del ser es el experimento.

En realidad, incluso si dejamos de lado las analogías con la mecánica hamiltoniana y lagrangiana y la narrativa habitual de la "cuantización de la teoría clásica", más de la mecánica cuántica parece exactamente como una cierta formulación de la mecánica clásica:

1. Hay un estado que define totalmente el sistema tanto en el pasado desde la última "medición" como en el futuro hasta que se "mida";

2. El estado vive en un espacio de Hilbert (espacio de producto interno completo) y su evolución con el tiempo es lineal.

3. En un sistema aislado e invariable en el tiempo, el operador de evolución lineal debe ser de la forma $\exp(K\,t)$ porque, dados los supuestos de reversibilidad (se puede inferir el estado en cualquier momento a partir del de cualquier otro momento), los operadores de evolución temporal deben ser un grupo de un parámetro. Aquí se puede definir que el parámetro de tiempo sea uno que se añada al componer los miembros del grupo: esto define el tiempo como el que hace que la evolución sea "regular" o "uniforme"; todas las demás parametrizaciones posibles son biyecciones continuas $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de los "regulares", "buen reloj" (que se definen hasta una transformación afín $t^\prime = A t + B;\,A,\,B\in\mathbb{R}$ )).

Puntos de vista de la teoría de control y sistemas todo sistemas lineales -clásicos o cuánticos- de esta manera. La única diferencia es que sustituimos "todo el tiempo" por "entre mediciones", noción esta última aún por definir. La dinámica de cualquier El sistema descrito por cualquier número finito de EDs lineales de cualquier orden finito puede ser moldeado en la forma anterior. En la teoría de control, el operador de evolución temporal se denomina matriz de transición de estado, cuya expansión para un sistema que varía en el tiempo viene dada por la serie de Peano-Baker, que en la teoría cuántica adopta una forma ligeramente diferente en la serie de Dyson. Tengamos en cuenta que la forma anterior sería algo con lo que Laplace se sentiría totalmente cómodo, con su filosofía de un universo de relojería cuyo comportamiento está definido para todo el tiempo por un estado en cualquier momento, hasta que sustituyamos "todo el tiempo" por "entre mediciones". Porque la diferencia entre la mecánica cuántica y la teoría de los sistemas clásicos es precisamente la parte no unitaria de la medición. Lo que realmente ocurre en la medición es la problema de medición pero lo que sabemos es:

1. La medición se describe mediante "observables", que son operadores autoadjuntos que actúan en el espacio de Hilbert de los estados junto con una receta sobre cómo interpretar sus mediciones;

2. La receta es la siguiente: en primer lugar, justo después de una medición descrita por un observable $\hat{O}$ el estado del sistema está en un estado propio del observable $\hat{O}$ ;

3. En segundo lugar, la medición es el valor propio correspondiente al estado propio al que la medición fuerza el estado del sistema (el "cómo" el estado termina en este estado propio es el problema de la medición);

4. En tercer lugar, la elección del estado propio en el punto 2. es al azar . La distribución de probabilidad de la medición está totalmente definida por el estado cuántico, ya sea como la probabilidad del estado propio de selección de la medición $\psi_{\hat{O},\,j}$ la magnitud cuadrada de la proyección del estado normalizado del sistema sobre este estado propio o, de forma equivalente, la $n^{th}$ momento de la distribución de probabilidad es $\mu_n=\langle \psi|\hat{O}^n|\psi\rangle$ de ahí que se pueda encontrar la función característica de la distribución $\langle \psi|\exp(i\,k\,\hat{O})|\psi\rangle$ ( $k$ la variable de la transformación de Fourier), de ahí la propia distribución.

Y eso es todo para la parte física de la mecánica cuántica en cuanto a estados puros se refiere. Hay que explorar la noción de mezclas clásicas de estados cuánticos puros a través de la Experimento de pensamiento del amigo Wigner y formalismos de matrices de densidad pero estos están prácticamente definidos por lo anterior.

La descripción que he dado se conoce a veces con el nombre de "Enfoque de la Medición Cuántica". El problema de la medición es un área de investigación fundacional activa, y el significado de aleatorio se deja sin definir, al menos hasta que el problema de la medición tenga una solución aceptada. Por ahora, aleatorio significa simplemente incognoscible mediante conocimiento previo. De hecho, algunos filósofos serios investigan la naturaleza de la noción de azar y de la casualidad, que aún no se comprende del todo, utilizando la física cuántica como modelo para sus nociones. En lugar de comenzar con la constatación de que la estadística clásica necesita ampliarse al paradigma cuántico complejizado, trabajan al revés, diciendo que la mecánica cuántica es nuestro mundo real, experimental, lo que conocemos y podemos entender directamente a través de la interrogación de la Naturaleza mediante el experimento y trabajan hacia un fundamento riguroso de la noción de probabilidad como una abstracción cierta y aproximada de la mecánica cuántica real y "visceral" que experimentamos en el laboratorio. A menudo los estudiantes se sienten muy desanimados por la falta de aplicabilidad de la estadística clásica y la necesidad de las nociones estadísticas cuánticas ampliadas y complejizadas. Pero la QM es, en realidad, la materia fácil: la materia cuyas preguntas responderá la naturaleza a través de la experimentación. La noción de probabilidad es lo difícil. Véase esta página de la Enciclopedia Stanford de Filosofía "El azar frente a la aleatoriedad" .

Lo que yo consideraría como mi primera introducción sólida a la QM son los primeros ocho capítulos del tercer volumen del Conferencias Feynman .

Así que en resumen:

1. Gran parte de la mecánica cuántica, aparte del problema de la medición, no difiere demasiado de la concepción del mundo de Laplace, y la descripción del estado unitario se asemeja a la concepción moderna de la teoría de sistemas lineales de cualquier sistema físico;

2. La teoría de sistemas suele ser lineal por conveniencia (como una aproximación a los comportamientos no lineales), pero varias nociones de la mecánica cuántica (el teorema de la no clonación, por ejemplo) dependen de la afirmación de que la QM es exactamente lineal. Esta es una diferencia curiosa;

3. La teoría de sistemas no suele ocuparse de sistemas de dimensiones infinitas. La teoría cuántica suele vivir en el espacio de Hilbert complejo y separable;

4. La naturaleza probabilística del problema de la medición significa que la norma de los estados tiene que ser la unidad (de modo que las probabilidades de todos los posibles resultados del experimento sumen uno), o bien, que los estados son rayos a través del origen o de puntos de la esfera unitaria en el espacio de Hilbert, en lugar de puntos generales como en la teoría de sistemas lineales. Las fases globales aplicadas a los estados no tienen ningún significado físico;

5. La medición probabilística también implica el principio de incertidumbre cuando los observables no conmutan.

Answer 3

Echando un vistazo a tus preguntas, te sugeriría que te olvidaras de que la dualidad onda-partícula es este principio fundacional de la mecánica cuántica. Más bien, yo diría que hay dos (al menos, estas dos son las más obvias) características importantes que definen la MQ, que quedan claras en el formalismo del espacio de Hilbert:

1. Los estados se representan mediante vectores, y aunque algunos estados corresponden aproximadamente a una imagen clásica (como un estado con un componente z del espín bien definido), también se pueden tomar superposiciones de estados, como en la "paradoja" del gato de Schrödinger. Estas superposiciones no tienen un análogo clásico: es como si el sistema estuviera en dos estados a la vez.

2. Sólo puedes calcular probabilidades. Si su observable $A$ puede tomar varios valores posibles ${a_n}$ y llamamos $|\phi_n\rangle$ los estados correspondientes con un valor bien definido de $A$ Entonces, si su sistema está en algún estado $|\psi\rangle$ la probabilidad de medir $a_n$ es $|\langle \phi_n | \psi \rangle |^2$ . Si dos observables no conmutan, no se puede tener un estado en el que ambos tengan un valor definido.

Si se toman estos dos principios juntos y la idea de que una partícula que se mueve en el espacio tiene una base dada por los estados $|x\rangle$ de posición definida, entonces se observan interferencias al tomar el módulo al cuadrado. Este es el origen de la dualidad onda-partícula, pero es sólo un caso particular de lo que el formalismo te permite hacer.

¿Ha visto ejemplos de sistemas físicos elaborados con el formalismo del espacio de Hilbert? El oscilador armónico y el átomo de hidrógeno son los dos ejemplos clásicos, y te permiten conectar la idea de la función de onda con esta forma abstracta de describir las cosas, pero también echar un vistazo a cosas como la precesión del espín en un campo magnético. El enfoque de la función de onda no funciona porque si no te importa el movimiento de la partícula no hay ninguna función de onda . Sólo hay vectores complejos, y en el caso de dimensión finita usar kets es esencialmente lo mismo que usar n-tuplas de números, sólo la notación es diferente.

Si me preguntaran en qué consiste la QM, probablemente mencionaría los dos principios que he expuesto anteriormente. El entrelazamiento y otros fenómenos similares también podrían estar implicados, pero creo que esto llega al núcleo de la cuestión. También debería ayudarte a ver por qué este formalismo no se utiliza en la mecánica clásica: la superposición y las probabilidades no son la forma de hacer MC.

Answer 4

No sabemos de qué trata la mecánica cuántica, la teoría está formulada de forma instrumental. Los postulados de la mecánica cuántica te dicen cómo calcular el resultado de los experimentos. Cuando se intenta mirar más allá, tener en cuenta que los aparatos experimentales utilizados, los observadores, etc., también están hechos de átomos y moléculas, uno se ve obligado a modificar los postulados. Pero entonces no hay consenso en la comunidad de físicos sobre cómo hacerlo. La causa de esto es el hecho de que la mecánica cuántica ha tenido tanto éxito que no hay resultados experimentales que entren en conflicto con ella para guiarnos en la dirección correcta.

Answer 5

Puede ser útil distinguir dos posibles interpretaciones de la pregunta "¿de qué trata la mecánica cuántica?":

1. ¿Para qué tipo de sistemas físicos, procesos, etc., es particularmente útil la mecánica cuántica para representar; es decir, cómo debemos utilizar o aplicar la mecánica cuántica?
2. ¿Qué dice la teoría sobre la naturaleza del mundo; es decir, cómo debemos entender o interpretar la mecánica cuántica?

La segunda pregunta no tiene una respuesta incontestable: las cuestiones sobre cómo debe interpretarse la mecánica cuántica han sido muy discutidas desde el inicio de la teoría. La primera pregunta, en cambio, tiene una respuesta más fácil, salvo en la medida en que se relaciona con la segunda. Así que, para entender la mecánica cuántica, es útil tener en cuenta que la mecánica cuántica es una teoría cuya aplicación está extraordinariamente bien elaborada y tiene éxito, pero cuya interpretación sigue siendo controvertido. Algunos dirán que esto significa que hay que resistirse a pensar en las interpretaciones y limitarse a aprender a darle a la manivela para obtener resultados y aplicaciones. Creo que un enfoque mejor es aprender sobre las diferentes interpretaciones, los diferentes formalismos y las diferentes "imágenes" de los fenómenos de la mecánica cuántica, pero teniendo en cuenta las disputas fundamentales, intentando mantener la mente lo más abierta posible y asegurándose siempre de que se sabe cómo pasar de una imagen a otra.

Esto se aplica, en particular, a la relación entre la función de onda y los formalismos de vectores de estado. Estoy de acuerdo con usted en que el formalismo de la función de onda es algo más intuitivo: de hecho, Schrödinger consideraba que una ventaja clave de su mecánica ondulatoria era su "Anschaulichkeit", o "capacidad de visualización". Sin embargo, el formalismo de los vectores de estado se considera generalmente como el más fundamental. La relación entre los dos formalismos es material estándar de los libros de texto, pero sólo para ensayar rápidamente: el punto es que las funciones de onda surgen como una forma de representar los vectores de estado, si elegimos una base particular para el espacio de Hilbert. Más concretamente (pero siendo algo chapucero en los tecnicismos), dejemos que $|\delta(x)\rangle$ sea el vector de estado que representa una partícula localizada en el punto $x$ es un vector propio (valor propio $x$ ) del operador de posición $\hat{X}$ . En determinadas situaciones, el conjunto $\{|\delta(x)\rangle\}_{x \in X}$ forma una base para el espacio de Hilbert (donde $X$ es normal, tridimensional, de posición-espacio). Esto significa que dado cualquier vector de estado $|\psi\rangle$ podemos expresarlo como una suma ponderada de elementos de la base de posición $\{|\delta(x)\rangle\}_{x \in X}$ : $$ |\psi \rangle = \sum_{x \in X} \psi_x |\delta(x)\rangle $$ Aquí, $\psi_x$ es un número complejo, el coeficiente del vector base $|\delta(x)\rangle$ . Pero la colección de coeficientes complejos $\{\psi_x\}_{x \in X}$ puede considerarse igualmente como una única función $\psi(x): X \to \mathbb{C}$ . Esta función $\psi(x)$ es, por supuesto, sólo la función de onda a la que estás acostumbrado.

La razón para considerar el formalismo del vector-estado como más fundamental es que las funciones de onda siempre pueden considerarse como formas de representar los vectores-estado, pero no todos los vectores-estado pueden representarse como funciones de onda (donde me refiero a "función de onda" para referirme específicamente a las funciones en el espacio de posición). Por ejemplo, si sólo se observan los grados de libertad de espín de un sistema, se trataría de vectores de estado cuyo espacio de Hilbert no tiene como base el conjunto de vectores propios de posición. Por tanto, el formalismo de los vectores de estado es más abstracto y general que el formalismo de la función de onda.

Sin embargo, eso nos lleva naturalmente a su preocupación de que el formalismo de los vectores de estado es así que abstracto y general, ¡no estás seguro de qué es distintivo de la mecánica cuántica! En primer lugar, tienes toda la razón al afirmar que "este lenguaje de "estados abstractos de un sistema" podría, en mi opinión, utilizarse también en la Mecánica Clásica". La diferencia, sin embargo, radica en la estructura de los espacios matemáticos que utilizamos para representar esos estados. Lo distintivo del espacio de estados de la mecánica cuántica es que presenta una lineal estructura: existe una noción físicamente relevante de "sumar estados" (es decir, decir de un estado $c$ que es la suma de estados $a$ y $b$ es un reclamo físicamente importante). Este no es el caso de la mecánica clásica. Esto, por supuesto, es sólo una forma de decir que la mecánica cuántica -a diferencia de la mecánica clásica- presenta la superposición como un fenómeno. (Aclaración: no sé lo suficiente sobre el formalismo Koopman-von Neumann para decir exactamente cómo encaja en mis observaciones aquí).

Por último, una breve observación sobre si la mecánica cuántica se refiere únicamente a los fenómenos microscópicos o no. Esto tiene dos respuestas, que corresponden a las dos cuestiones que he distinguido anteriormente:

1. Cuando un sistema tiene muchos grados de libertad, las predicciones clásicas y cuánticas sobre cómo se comportará ese sistema convergen. Así que los sistemas para los que se necesita para utilizar la mecánica cuántica para obtener predicciones precisas son aquellos con pocos grados de libertad, lo que suele significar sistemas microscópicos. (Esto es un poco impreciso, pero servirá; si te interesan los detalles, busca la teoría de la decoherencia).
2. El hecho de que la mecánica cuántica se aplique a los sistemas macroscópicos depende de la interpretación que se prefiera. En las interpretaciones de "colapso" como la de Copenhague o la de GRW, la mecánica cuántica sólo se aplica a los sistemas microscópicos; en las interpretaciones "sin colapso" como la de Broglie-Bohm o la de Everett, la mecánica cuántica se aplica a todos los sistemas - pero por razones de decoherencia, la mecánica clásica proporciona una excelente aproximación cuando se trata de sistemas macroscópicos.