Polinomio irreducible del máximo ideal

Question

Tengo un par de ideas que me pregunto si me clasificar correctamente como máxima/prime ideal.

$I_1 = \langle 2x^2 + 9x -3\rangle$, $I_2 = \langle x - 1\rangle$

$\mathbf 1)$ $I_1$ Un ideal maximal en $\mathbb{Q}[x]$?

Sí, desde la $I_1$ es irreductible con $p=3$ utilizando el criterio de Eisenstein, lo ideal maximal.

$\mathbf 2)$ $I_2$ Un alojamiento ideal en $\mathbb{Q}[x]$?

Sí, desde la $I_2$ es, obviamente, irreductible, y por lo tanto un ideal maximal, y cada ideal maximal es un alojamiento ideal.

$\mathbf 3)$ $I_2$ Un ideal maximal en $\mathbb{Z}[x]$?

Sí, $I_2$ es, obviamente, irreductible, y por lo tanto un ideal maximal.

$\mathbf{Edit:}$ No, ya que no es un campo.

Estoy bien en mis conclusiones?

Agradecemos cualquier ayuda.

Answer 1

En un anillo conmutativo $R$ con 1 $$\begin{array}\ R/(a) \text{ integral domain} &\iff &(a) \text{ prime ideal} & \iff & a \text{ prime}\\ &&& & \Downarrow & \\ \Uparrow&&(a) \text{ maximal among principal} & \Longleftarrow & a \text{ irreducible} &\\ && & & & \\ R/(a) \text{ is a field} & \iff &(a) \text{ maximal ideal} \end{array}$$

En una parte integral de dominio $R$ $$\begin{array}\ R/(a) \text{ integral domain} &\iff &(a) \text{ prime ideal} & \iff & a \text{ prime}\\ &&& & \Downarrow & \\ \Uparrow&&(a) \text{ maximal among principal} & \iff & a \text{ irreducible} &\\ && & & & \\ R/(a) \text{ is a field} & \iff &(a) \text{ maximal ideal} \end{array}$$

En un UFD $R$

$$\begin{array}\ R/(a) \text{ integral domain} &\iff &(a) \text{ prime ideal} & \iff & a \text{ prime}\\ &&& & \Updownarrow & \\ \Uparrow &&(a) \text{ maximal among principal} & \iff & a \text{ irreducible} &\\ && & & & \\ R/(a) \text{ is a field} & \iff &(a) \text{ maximal ideal} \end{array}$$

En un PID $R$ $$\begin{array}\ R/(a) \text{ integral domain} &\iff &(a) \text{ prime ideal} & \iff & a \text{ prime}\\ && & & \Updownarrow & \\ \Uparrow &&(a) \text{ maximal among principal} & \iff & a \text{ irreducible} &\\ &&\Downarrow & & & \\ R/(a) \text{ is a field} & \iff &(a) \text{ maximal ideal} \end{array}$$

Answer 2

Hay un teorema que puede utilizar: Dado un anillo conmutativo $R$ con identidad, $I$ es un ideal maximal en $R$ si y sólo si $R/I$ es un campo. (De manera similar, $I$ es un alojamiento ideal si y sólo si $R/I$ es una parte integral de dominio.)

¿Qué elementos en $\mathbb{Z}[x]/\langle x - 1\rangle$? Forma un campo?

Answer 3

En 3, su argumento es erróneo. En una parte integral de dominio, $a$ es irreductible iff $(a)$ es máxima entre los principales ideales, sino $\mathbb{Z}[x]$ no es un PID, por lo que podemos concluir que $(a)$ es máxima. De hecho no lo es, porque $\mathbb{Z}[x]/\langle x-1\rangle$, no es un campo. Así, por ejemplo, $\langle 2,x-1\rangle$ es un ideal maximal que contiene a $\langle x-1\rangle$.