Definición del producto cartesiano infinito

Question

(1) Si $X$ y $Y$ son dos conjuntos, definimos el Producto cartesiano $X \times Y$ como el conjunto de pares ordenados $(x,y)$ , de tal manera que $x \in X$ y $y \in Y$ .

(2) Por otro lado [Folland, Análisis Real, página 4], si $\{X_\alpha\}_{\alpha \in A}$ es una familia infinita de conjuntos indexados, su Producto cartesiano $$ \prod_{\alpha \in A}X_\alpha $$ se define como el conjunto de mapas $f: A \to \bigcup\limits_{\alpha \in A} X_\alpha$ tal que $f(\alpha) \in X_\alpha$ por cada $\alpha \in A$ .

Después de decir esto, Folland comenta:

hay que tener en cuenta, y olvidar rápidamente, que cuando $A = \{1,2\}$ La definición anterior de $X_1 \times X_2$ [es decir, (1) arriba] es teóricamente diferente de la definición actual de $\prod_1^2 X_j$ (eso es (2) arriba). De hecho, este último concepto depende de los mapeos, que se definen en términos del primero.

No entiendo este comentario. En concreto, estas son mis preguntas.

Pregunta 1 : ¿En qué se diferencia (2) teóricamente de (1)? ¿Un simple ejemplo ilustrativo?

Pregunta 2 : Si (1) se extiende a infinitas familias, ¿qué definición sería más fuerte? ¿Un simple ejemplo ilustrativo?

Pregunta 3 : ¿Por qué hay que "olvidarlo rápidamente"?

Probablemente tendré más preguntas dependiendo del tipo de respuestas que obtenga a estas.

Gracias.

Answer 1

1. Un par de órdenes y una función $f : \{1, 2\} \rightarrow X_1 \cup X_2$ no son lo mismo. Dependiendo de su definición, algunas personas definen el par de órdenes $(a,b)$ para ser el conjunto $\{a, \{a,b\}\}$ . Una función es un subconjunto de $X_1 \times X_2$ satisfaciendo la propiedad habitual de las funciones. Por lo tanto, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos son diferentes. "De hecho, este último concepto depende de los mapeos, que se definen en términos del primero", lo que significa que las funciones suelen definirse como un subconjunto de $X \times Y$ es decir, un subconjunto del conjunto de pares de órdenes. Por lo tanto, Folland sólo señala que la definición de funciones utiliza la noción de pares de orden.

2. Folland sólo define $(1)$ para el producto cartesiano finito. Por lo tanto, en el contexto del libro de Folland, no tiene ningún sentido preguntar qué definición es más fuerte para las familias infinitas. Según Folland, para las familias infinitas sólo hay una noción de producto cartesiano, y es la segunda.

3. Al ser "prompty olvidado", es que aunque los pares de órdenes y ciertas funciones de $\{1, 2\} \rightarrow X_1 \cup X_2$ no son teóricamente iguales, existe una bonita biyección $\Phi$ entre los dos conceptos. $\Phi((x_1,x_2)) = f_{(x_1,x_2)}$ donde $f_{(x_1, x_2)}$ definido por $f_{(x_1,x_2)}(1) = x_1$ y $f_{(x_1,x_2)}(2) = x_2$ .

(Obsérvese que su inversa sería entonces : para cualquier $f : \{0,1\} \rightarrow X_1 \cup X_2$ con la propiedad de que $f(i) \in X_i$ , $f$ es un mapa para $(f(1), f(2))$ . )

Answer 2

Muy brevemente. La pregunta 1 ha sido ampliamente contestada; las dos definiciones producen conjuntos diferentes, aunque existe una biyección canónica entre ellas.

Pregunta 2. No existe la extensión de (1) a infinitas familias, es una definición sólo para pares de conjuntos. Incluso si quieres algo para tres conjuntos, hay al menos dos formas de combinar dos productos cartesianos, que dan resultados diferentes (aunque isomorfos), ninguno de los cuales implica triples ordenados. Pero nunca se pueden obtener productos infinitos de ninguna de estas maneras. Se puede interpretar (2) como una forma alternativa de "generalizar" esto, de forma que también se puedan obtener productos infinitos.

Pregunta 3: Podemos olvidar la distinción entre (1) y (2) en el caso de un producto cartesiano de dos conjuntos debido a la biyección canónica entre los conjuntos producidos por las dos definiciones, lo que significa que siempre y de forma consistente podemos traducir de un lado a otro cuando sea necesario. Además debe olvide la distinción porque llevar la cuenta de cuál de las dos se aplica oficialmente en cada situación es un esfuerzo totalmente improductivo. Toda la importancia de dar estas definiciones es tener un modelo preciso de un producto cartesiano, para que sus propiedades puedan deducirse de los axiomas de la teoría de conjuntos, pero tener más de un modelo equivalente no añade nada útil.

Pregunta ausente: si (2) puede hacer todo lo que (1) puede (de forma ligeramente diferente pero equivalente) ¿por qué deberíamos preocuparnos por (1) en primer lugar? Porque sin (1) estaríamos en la situación del huevo y la gallina al intentar formular (2), no sólo porque (2) produce conjuntos de mapeos, que requieren un producto cartesiano (de dos conjuntos), sino también porque la propia noción de familia indexada de conjuntos se define en términos de mapeos.

Answer 3

Por qué son diferentes

La construcción teórica habitual de las funciones es una relación entre dos conjuntos $A$ y $B$ en el que cada $a \in A$ está relacionado exactamente con un $b \in B$ (pero no necesariamente uno distinto de cualquier otro $a' \in A$ ). Para escribirlo en símbolos formales, $f: A \to B$ es lógicamente equivalente a $$\Bigl(f \subseteq A \times B \Bigr) \mathbin\& \Bigl( \forall a \in A \,\exists b \in B : \bigl[ (a,b) \in f \bigr] \mathbin\& \bigl[\forall b' \in B: (a,b') \in f \implies b' = b \bigr] \Bigr) .$$ En particular, una función $f: \{ 1, 2 \} \to X \cup Y $ del tipo descrito en su pregunta es un conjunto de dos elementos $\{(1,x), (2,y)\}$ tal que $x \in X$ y $y \in Y$ . Esto es diferente de un elemento $(x,y) \in X \times Y$ .

Por qué no importa que sean diferentes

La razón por la que debes ignorar la diferencia es porque son sólo dos formas de reproducir la estructura de un par ordenado en la teoría de conjuntos. Lo que importa no es cómo se construyen los pares ordenados (o cualquier otra estructura particular), sino lo que se puede hacer con ellos. Por ejemplo, el enfoque de la teoría de categorías es poner el énfasis en los mapeos de las proyecciones $\pi_1$ y $\pi_2$ que te dan la primera y segunda entrada de las tuplas; y esto reproduce todo lo que realmente te interesa de las tuplas, sin preocuparte de "qué conjunto" representa la tupla.

Por qué tengo una preferencia a pesar de que no importa que sean diferentes

No obstante, debo confesar mi preferencia (puramente estética) por la definición en términos de funciones, si hacer elegir pasar el tiempo contemplando las definiciones en términos de conjuntos.

• Si se toman las construcciones muy literalmente, $A \times B \times C \times D$ tiene que ser interpretado como algo así como $A \times (B \times (C \times D))$ que se compone de tuplas $x = (a,(b,(c,d)))$ Lo cual es un poco ridículo. Prefiero pensar en las tuplas como $x = (a,b,c,d) := \{(1,a), (2,b), (3,c), (4,d)\}$ que es lo que realmente quiero decir (porque entonces $x_1 = a$ , $x_2 = b$ etc. no es más que una evaluación de funciones).

• Además, un producto infinito $A \times (B \times (C \times (\cdots))))$ daría lugar a conjuntos con cadenas infinitamente decrecientes de relaciones de elementalidad, que están descartadas por los axiomas habituales de la teoría de conjuntos (en concreto el Axioma de Fundación para ZFC o NBG ). Si utiliza funciones $f: A \to \bigcup_{\alpha \in A} X_\alpha$ para definir las tuplas, realmente no importa si $A$ resulta ser un conjunto infinito; el conjunto de las tuplas sigue estando bien definido (aunque cualquiera que no crea en el Axioma de la Elección puede pensar que podría estar vacío aunque ninguno de los $X_\alpha$ son).

Si se pasa mucho tiempo pensando en las tuplas en términos de conjuntos, definiendo las tuplas como funciones -y definiendo las funciones en términos de "arcos", palabra que elijo casi arbitrariamente para el conjunto habitual $\{\{a\},\{a,b\}\}$ utilizado para definir pares ordenados - hace las cosas mucho más agradables.

Answer 4

Esto es lo que pienso.

Pregunta 1: la primera definición, la finita, te dice que un producto directo está formado por "pares ordenados", es decir, parejas de elementos de los conjuntos. Pero la segunda definición, aplicada cuando $A= \{1,2 \}$ , te dice que el producto directo está hecho de "mapas que satisfacen algunas condiciones". Está claro que un mapa y un par ordenado no son, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, lo mismo, así que aquí está la diferencia. Sin embargo, en la práctica son lo mismo, sólo que los pares que obtienes con tu primera definición son las imágenes de todos los posibles mapas que estás considerando con la segunda.

Pregunta 2: no se puede, en general, extender la primera definición a infinitas familias, básicamente porque su $A$ es un conjunto cualquiera y puede carecer de un ordenamiento total, por lo que no existe una generalización significativa de "par ordenado". Sin embargo, si su conjunto $A$ realmente tiene una ordenación total, por ejemplo $A=\mathbb N$ se puede dar la definición del producto directo $\prod_{ i \in \mathbb N} X_i$ como el conjunto cuyos elementos son secuencias $(x_i)$ tal que $x_i \in X_i$ para todos $i \in \mathbb N$ . Puede comprobar usted mismo que esta definición es coherente con la de "mapas".

Pregunta 3: esto es sólo mi opinión personal, pero debería olvidarse porque cuando el conjunto $A$ es finito, se utiliza claramente la primera definición, mientras que si $A$ es infinito (y en particular sin ordenación total) se utiliza el segundo.

Answer 5

(1) define el producto como un conjunto de pares ordenados, (2) lo define como un conjunto de mapas. Los pares no son mapas, así que ahí está tu diferencia teórica de conjuntos.

No creo que la palabra "fuerza" se aplique a las definiciones. Pero la palabra "ordenada" en "pares ordenados" puede llevar a dificultades en (1) para familias infinitas, ya que puede no tener un ordenamiento en su conjunto de índices.