Haces tangentes de colectores exóticos

Question

Considere un par de colectores lisos homeomórficos pero no diffeomórficos $M_1$ y $M_2.$ Arreglar un homeomorfismo $ \phi\colon M_1 \rightarrow M_2.$ Si entiendo bien, dos paquetes $TM_1$ y $ \phi ^*TM_2$ siempre son isomórficos como haces de fibras topológicas (eso es porque ambos son isomórficos a un subconjunto del microconjunto tangente).

¿Son siempre isomórficos como haces de vectores?

Answer 1

John Milnor da un ejemplo de dos variedades lisas homeomorfas cuyos haces tangentes no son isomorfos como haces vectoriales topológicos, véase su discurso de ICM-1962, Corolario 1. Creo que éste fue el primer ejemplo de este tipo.

Editar. Algunas cosas más (motivadas por las preguntas en los comentarios más abajo):

1. El espacio total del haz tangente a cualquier exótica $n$ -es difeomorfa a $TS^n$ , ver

R. De Sapio, Paquetes de discos y esferas sobre esferas de homotopía , Matemáticas. Z. 107 (1968) 232-236.

2. Si $M_1, M_2$ son dos variedades homeomórficas, entonces los espacios totales de sus haces tangentes $TM_1, TM_2$ son siempre homeomorfos (los haces tangentes son incluso topológicamente isomorfos como microhaces), esto se deduce de

J.Milnor, Microbundles-I Topología, 3 (1964) 53-80.

3. No conozco ningún ejemplo en el que los haces tangentes de dos variedades lisas homeomorfas $M_1, M_2$ tal que los espacios totales de $TM_1, TM_2$ no son difeomorfos, pero tampoco he dedicado mucho tiempo a pensar en esto.