Esta pregunta me hizo reflexionar. Tenemos una ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ . Cuánto álgebra se puede motivar de la solución estándar. Los comentarios señalan que la fórmula no se aplica en la característica 2, y que tenemos que ser capaces de dividir por $a$ y tomar la raíz cuadrada del discriminante.
Creo que esto nos hace pensar en fracciones, campos de fracciones (e incluso campos locales) con los racionales como campo de fracciones de los enteros (y las funciones racionales de los polinomios no muy lejos).
Entonces obtenemos extensiones cuadráticas de campos y anillos. Incluyendo los números complejos.
Lo que me sorprendió fue que observaciones relativamente elementales podían llevarnos muy lejos. Pienso en hablar con mi hija (de 13 años) sobre ideas matemáticas y considero que podría hacer todo lo anterior con ella en el caso cuadrático.
Pero el caso cuadrático tiene algunas características especiales y, por tanto, no siempre es paradigmático para la teoría general.
Siempre me ha parecido que la indicación de posibles direcciones de viaje en la generalización de resultados simples sería de gran beneficio para motivar a los jóvenes brillantes a tomar las matemáticas.
Busco respuestas que me den una idea de la cantidad de álgebra, geometría algebraica, teoría de números algebraica que podría motivar de manera elemental a partir de la "fórmula" para resolver una ecuación cuadrática.
