Espectro de operadores de la Integral indefinida

Question

He considerado los siguientes espectral problemas durante mucho tiempo, yo no kow cómo enfrentarse a ellas. Tal vez necesita algunas habilidades con las desigualdades.

Para el primero, supongamos $T:L^{2}[0,1]\rightarrow L^{2}[0,1]$ está definido por $$Tf(x)=\int_{0}^{x} \! f(t) \, dt$$

¿Cómo puedo calcular:

• el radio del espectro de $T$?
• $T^{*}T$?
• la norma de $T$?

Supongo que $r(T)$ debe $0$. pero yo sabía cómo demostrarlo. Mi idea es utilizar la transformada de Fourier para hacer frente al problema, sin embargo, no parece funcionar.

El otro problema puede ser muy similar a este. Deje $T:C[0,1]\rightarrow C[0,1]$ ser definido por $$Tf(x)=\int_{0}^{1-x}f(t)dt$$

Es obvio que $T$ es compacto y supongo que su radio de espectro es cero, pero no sé cómo demostrarlo.

Todas las referencias y asesoramiento será muy apreciada.

Answer 1

gracias PZZ la respuesta para el primer problema. Ahora sé por qué me di cuenta de por qué estoy falló en el segundo problema.

$$Tf(x)=\int_{0}^{1-x}f(t)dt$$

Es trivial que este operador es linaer compacta de operador de acuerdo a Arzela-Ascoli teorema, por lo que tenemos $\sigma(T)/{0} \subset \sigma_{p}(T)$, uso simple cálculo nos puede disfrutar de la $0\notin \sigma_{p}(T)$, para C[0,1] es un espacio de infinitas dimensiones, podemos obtener $0\in \sigma(T)$. $\forall \lambda \in \sigma_{p}(T)$, y $\lambda \neq 0$, podemos conseguir que

$$\int_{0}^{1-x}f(t)dt=\lambda f(x)$$

lo que implica que $f \in C^{\infty}[0,1]$, entonces podemos obtener
$$-f(1-x)=\lambda f'(x)$$ observe que $$f(1)=0$$ más nos alejamos $$\lambda^{2}f''(x)=-f(x)$$, solve this second order of differential equation, we can calulated every $\lambda_{n}=\frac{2\pi}{2n+1}, \qquad n\Z$.