Anillo dentro de una extensión de campo algebraico

Question

Dejemos que $E|F$ sea una extensión de campo algebraico y un anillo $K$ tal que $F\subseteq K\subseteq E$ . Es cierto que $K$ ¿es un campo?

Answer 1

Sí. Supongamos que $0\ne k\in K$ . Desde $k\in E$ y $E/F$ es algebraico, tenemos algún polinomio mínimo $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ con coeficientes en $F$ que se satisface con $k$ . Por minimidad, el coeficiente $a_0$ debe ser distinto de cero, por lo que tiene un inverso $a_0^{-1}$ en $F$ . Entonces $k(-a_0^{-1})(k^{n-1}+a_{n-1}k^{n-2}+\cdots+a_1)=1$ Así que $k^{-1}=(-a_0^{-1})(k^{n-1}+a_{n-1}k^{n-2}+\cdots+a_1)$ . Desde $k$ y cada $a_i$ están en $K$ se deduce que $k^{-1}$ está en $K$ . Así, $K$ es un campo.

Answer 2

Sí. Deja que $a \in E$ con $a\ne0$ .

Desde $a \in E$ es algebraico sobre $F$ tenemos que $F[a]$ es una dimensión finita $F$ -álgebra porque $F[a]$ es por definición el $F$ -espacio vectorial generado por las potencias de $a$ y las potencias con exponente mayor que el grado de $a$ puede sustituirse por combinaciones lineales de potencias inferiores utilizando una ecuación polinómica mónica satisfecha por $a$ .

Desde $F[a]$ es una dimensión finita $F$ -el mapa $x \mapsto ax$ en $F[a]$ es $F$ -lineal e inyectiva y, por lo tanto, suryectiva. Por lo tanto, $1$ está en la imagen y $a$ es invertible en $F[a]$ .

Desde $F[a]$ es por definición el anillo más pequeño que contiene $F$ y $a$ tenemos que $a$ es invertible en cada subring $K$ de $E$ que contiene $a$ . En particular, cada elemento no nulo de $K$ es invertible, y $K$ es un campo.

En realidad, las siguientes son equivalentes (la prueba se deja como ejercicio):

• $a$ es algebraico sobre $F$
• $F[a]$ es una dimensión finita $F$ -Álgebra
• $F[a]$ es un campo
• $F[a]=F(a)$

Answer 3

Se puede dar un argumento más general: dejemos que $A\subset B$ sean dos dominios integrales. Un elemento $b\in B$ se dice que integral sobre $A$ si existe un monic polinomio $p(t)\in A[t]$ con $p(b)=0$ . El anillo $B$ se dice que es integral sobre $A$ es cada elemento de $B$ es integral sobre $A$ .

Teorema: Dejemos que $A\subset B$ ser identificados, con $B$ integral sobre $A$ . Entonces, $A$ es un campo si $B$ es un campo.