Estructuras giro explícito en el toro

Question

Básicamente, estoy tratando de construir ejemplos explícitos de Dirac operadores. Para este fin, estoy mirando la superficie de la E = C/(Z + λZ) - para algunos λ en H \ SL(2,Z) - con la métrica Euclidiana y el plano de la conexión. El, ya que el toro tiene género 1 2²=4 spin estructuras en la tangente bundle de esta curva elíptica.

¿Cuáles son las cuatro formas de definir las representaciones de SU(2)y Spin(2)=U(1) T_pE para cada $p \in$ E? Probablemente hay un giro de la estructura para cada elemento de la homología anillo con coeficientes en Z₂.

De referencia: Un giro de la estructura en la dirección de E es un espacio abierto que cubre $\{ U_\alpha : \alpha \in A\}$ y la transición de las funciones de $g_{\alpha\beta}: U_\alpha \cap U_\beta \to Spin(2) = U(1)$ en la satisfacción de un cocycle condición g_αβg_βγ=g_αγ en $U_\alpha \cap U_\beta \cap U_\gamma$. Tal vez hay otras definiciones de la mejor explícita de los cálculos.

Answer 1

En un toro spin estructuras tienen una simple representación, porque tiene esencialmente un estándar de la trivialización de la tangente paquete dada por su métrica euclidiana.

A partir de su definición de giro de la estructura, existe un $spin(2)$-paquete doble que cubre la unidad de la tangente paquete de la superficie. Vamos a llamar a $spin(SE) \to SE$. Ambos son del círculo de paquetes sobre la superficie de la $E$.

Identificar las $\pi_1 E$ con su entramado $\mathbb Z \oplus \lambda \mathbb Z$ con generadores $1$$\lambda$. Ya sea generador de levante a un bucle en $SE$ el círculo unidad paquete, ya que estamos en una simple situación de elegir para ser un bucle que viene de transporte paralelo. El bucle levanta a una ruta de acceso en $spin(SE)$, y puede o puede no ser un camino cerrado. Esta es una $\mathbb Z_2$valor invariante de la tirada de la estructura (cerrado produce $0$, no se cierra produce $1$), y dos de ellos, uno para cada generador. Esa es la manera de identificar su spin estructuras con $\mathbb Z_2^2 = H^1(E;\mathbb Z_2)$.

Si usted no tiene el paralelo estándar de transporte de ascensor para trabajar con usted tendría que perfeccionar esta construcción. En general $H^1(E;\mathbb Z_2)$ actúa libremente y transitivamente en la vuelta de las estructuras, no hay una "base". La acción está dada básicamente por el argumento anterior quitando el transporte paralelo a la construcción y simplemente considerando un ascensor de un bucle en $E$$SE$, y luego a dos spin paquetes que cubren $SE$ -- si los bucles, ya sea tanto de elevación para los trazados cerrados (o ambos no se eleva a cerca de las rutas), que dan un $0$, si uno de los ascensores de un camino cerrado y el otro no, que dan un $1$.

Answer 2

Otros carteles de explicar algunos de los topología de girar las estructuras. He aquí un diferencial geométricos respuesta relevante a Dirac operadores. El ejercicio que te hayas fijado, de la comprensión de Dirac que los operadores de la 2-toro, es una buena. En lugar de tratar de hacerlo por usted, en lugar de ello voy a discutir el 3-toro (cf. Kronheimer-Mrowka, "Monopolios y 3-variedades").

Así: un spin-estructura de Riemann 3-colector $Y$ puede ser entendida de la siguiente manera razonable: le damos un rango de 2 hermitian vector paquete de $S \to Y$ (el spinor bundle); y unitaria, de la trivialización de $\Lambda^2 S$; y una Clifford multiplicación mapa de $\rho \colon TY\to \mathfrak{su}(S)$, de tal manera que en cada una de las $y\in Y$ hay algunas orientadas a la base ortonormales $(e_1,e_2,e_3)$ $T_y Y$ tal que $\rho(e_i)$ es el $i$th Pauli matriz $\sigma_i$. Más invariantly, uno puede en lugar de decir que $\rho$ es una isometría (con respecto al producto interior $(a,b)=tr(a^\ast b)/2$) y satisface la orientación de la condición de $\rho(e_1)\rho(e_2)\rho(e_3)=1$.

Si tenemos dos spin-estructuras, con spinor paquetes de $S$$S'$, podemos ver en el sub-paquete de $\mathrm{SU}(S,S')$ consta de los fibrewise especial isometrías que se entrelazan, de Clifford multiplicación de los mapas. Este paquete tiene fibra $\{ \pm 1 \}$: es de 2 veces la cobertura de $Y$. Como tal, está clasificado por la clase de $H^1(Y;\mathbb{Z}/2)$, cuya no-fuga es claramente el único obstáculo para el isomorfismo de los dos spin-estructuras. Por el contrario, por tensoring todo por el real ortogonal de la línea de paquetes (trabajar de lo que esto significa concretamente!), usted puede construir todos los spin estructuras, hasta el isomorfismo, de un elegido.

En el plano $T^3$, todos los datos pueden ser tomadas de la traducción invariante. El operador de Dirac es, a continuación,$D = \sum_i{\sigma_i\partial_i}$. Tensoring con una línea ortogonal bundle $\lambda$ (construido, si se quiere, de un carácter $\pi_1(T^3)\to O(1)$) la fórmula se convierte en $D_\lambda =D \otimes 1_\lambda$.

En 2 dimensiones, la historia será similar; la novedad es que el spinor paquete se divide en dos haces. La traducción invariante en el operador de Dirac no es sino la de Cauchy-Riemann operador $\partial/\partial x + i \partial/\partial y$.

Answer 3

Como una expresión algebraica aparejador, aquí es cómo describiría la correspondencia entre spin estructuras en E y H₁(E,Z₂). Mientras que esto puede no ser lo que usted está buscando, tal vez todavía ayuda a ver otra perspectiva.

1. Podemos definir un giro de la estructura de una curva X ser la elección de una línea de paquete de L tal que $L^{\otimes 2} \cong \Omega_X$. Tenga en cuenta que por la línea de "paquete", realmente quiero decir "invertible gavilla". (Más en general, la definición de la misma con 2 sustituido por d define la noción de un d-spin estructura).
2. En una curva elíptica, $\Omega_X \cong \mathcal{O}_X$.
3. El hecho de que $L^{\otimes d} \cong \mathcal{O}_X$ puede ser reformulado exactamente como diciendo que L es un d-torsión elemento en el Jacobiano de X. (Jacobiana = grupo de la línea de paquetes de grado cero en virtud de producto tensor.)
4. Para cualquier curva de X, existe un isomorfismo canónico entre H¹(X,Z_d) y el grupo de d-torsión puntos en Jac X.

Nota en particular de la función en el punto 2 anterior. Punto de 1,3 y 4 dicen que para que un general de la curva de X el espacio de d-spin estructuras es un torsor para H¹(X,Z_d), ya que si L y M son la línea de paquetes tal que $L^{\otimes d} \cong M^{\otimes d} \cong \Omega_X$, $L \otimes M^{-1}$ es un d-torsión punto en Jac X. A continuación, el segundo punto dice que para curvas elípticas, el isomorfismo entre d-spin estructuras y H¹(X,Z_d) es en realidad canónica: desde el trivial de la línea de paquete de $\mathcal{O}_X$ es un d-spin estructura, no es un distinguido punto de base en el espacio de d-girar las estructuras.

Answer 4

No es un simple Cech cubierta que le da la vuelta estructuras desea. Ver el toro como un espacio de identificación en un paralelogramo, por lo que hay un 0 en la celda, 2 1-células, y una 2-celda. Tomar uno de los conjuntos de ser una pequeña bola de alrededor de 0-célula, tomar otro a ser el interior de una 2-celda o algo un poco más pequeño, y tomar los dos últimos a ser pequeñas, abiertas en los barrios de la 1-las células. Si usted eligió los conjuntos bien, las intersecciones tienen un pequeño número de componentes contráctiles. A continuación, para cada una de las $\pm 1$con valores de 1-cocycle, usted puede elegir localmente constante transición de las funciones de estas intersecciones con los valores en $\pm 1 = \operatorname{Ker}(\operatorname{Spin}\_2(\mathbb{R}) \to SO\_2(\mathbb{R}))$ que dan cuenta de la cocycle.

Answer 5

¿Por qué después de las representaciones de $\mathrm{SU}(2)$? Puesto que usted está buscando en una de dos dimensiones spin colector, el spinor paquetes tienen estructura de grupo $\mathrm{Spin}(2)$, que es el doble de la cubierta de la $\mathrm{SO(2)}$ estructura de grupo de la tangente paquete.

Además, sólo hay una acción en la tangente bundle $TE$, ya que está determinada únicamente por la reducción de la estructura de la trama paquete a $\mathrm{SO}(2)$, que es el resultado de la introducción de la estructura de riemann. El giro diferente estructuras corresponden a diferentes formas de levantar el orientado ortonormales marco de paquete de la tangente lote a un director de $\mathrm{Spin}(2)$ paquete.

Un buen lugar para aprender sobre las spin estructuras en las superficies de Riemann es la de 1971, el papel de las superficies de Riemann y giro de estructuras por Atiyah, publicado en los Anales Científicos de l'École Normale Supérieure. Más physicsy papel es Theta funciones. modular la invariancia y cadenas por Álvarez-Gaumé, Moore y Vafa. Si mal no recuerdo, este documento entra en algunos detalles acerca de los diferentes spin estructuras en el toro y cómo modular grupo transforma.