Límites y grupos de Fraïssé

Question

Hace poco estuve leyendo sobre los límites de Fraïssé en "Una teoría de modelos más corta" de Hodges. Estaba tratando de pensar en algunos ejemplos y quería ver si podía tomar el límite de Fraïssé en la categoría de grupos finitos. Está claro que esta categoría tiene la propiedad de incrustación hereditaria y conjunta. Sin embargo, estoy teniendo problemas para demostrar que esta categoría tiene la propiedad de amalgama, con lo que quiero decir que si hay grupos finitos $G, H, K$ tal que existen incrustaciones $\varphi: G\hookrightarrow H$ y $\psi: G\hookrightarrow K$ entonces existe un grupo finito $J$ y las incrustaciones $\vartheta: H\hookrightarrow J$ y $\eta: K\hookrightarrow J$ tal que $\vartheta\circ \varphi = \eta\circ \psi$ .

Una simplificación es que podemos, tomando copias isomórficas si es necesario, suponer que $H\cap K = G$ y que $\varphi $ y $\psi$ son sólo mapas de inclusión. Ni siquiera estoy seguro de qué grupo $J$ debe ser. Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

También hay una construcción bastante explícita de uno de esos J La primera toma de contacto es G \= H ∩ K y transversales S y T de G en H y K y luego J es el subgrupo de Sym( G × S × T ) generada por las representaciones regulares de ambos H y K (donde un elemento de H fija cada punto de T y vistas G × S como H ).

Esto suele crear una gran cantidad de J .

Cualquier J como has pedido se llama terminación (fiel, finita) de la amalgama (de rango 2) ( H , K ).

La elección de diferentes transversales puede crear diferentes terminaciones (fieles, finitas) J . Sin embargo, creo que hay muchas más terminaciones (fieles y finitas) que las creadas por este método. Todas ellas son cocientes finitos de la terminación universal mencionada en los comentarios, el producto libre con amalgama. Algunos han utilizado el iterador de subgrupos de bajo índice para encontrar compleciones fieles finitas que tienen subgrupos libres de núcleo de bajo índice.

Answer 2

Es un teorema de Schreier que toda amalgama de dos grupos finitos es fuertemente integrable en un grupo finito. Creo que el resultado está contenido en Los subgrupos de los grupos libres (Abh. math. Sem. Hamburg Univ. 5 (1927), 161-183); ese artículo contiene, en todo caso, el hecho de que cualquier amalgama de dos grupos es fuertemente integrable.

Se podría concluir como un corolario fácil del siguiente teorema más reciente:

Teorema Dejemos que $B$ sea un subgrupo de ambos $K$ y $H$ y que $G$ sea un subgrupo de $B$ que es normal en $B$ , $K$ et $H$ y tal que $K/G$ y $H/G$ son finitos. Entonces hay una fuerte amalgama de $K$ y $H$ en $B$ con $G$ normal y $J/G$ finito si y sólo si $K/GC_{K}(G)$ y $H/GC_H(G)$ generan un subgrupo finito del grupo de automorfismo externo de $G$ .

A continuación, aplique el teorema con $G$ el grupo trivial.

Este teorema aparece en Un teorema de amalgama para extensiones de grupos finitos por Frieder Haug, Ulrich Meierfrankenfeld y Richard E. Phillips, Arc. Math. 57 (1991), p 325-331.

Answer 3

El límite de Fraisse de la clase de grupos finitos ha sido estudiado por Hall [Hall, P. Some constructions for locally finite groups. J. London Math. Soc. 34 (1959) 305--319. MR162845] y, por lo tanto, se denomina grupo universal de Hall.