¿Cuáles son los puntos de discontinuidad de $\tan x$ ?

Question

$f(x) = \tan x$ se define a partir de $\mathbb R - \{\frac{\pi}{2} (2n+1) \mid n \in \mathbb Z\}$ a $\mathbb R$ . Para cada $x$ en su dominio, $$f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}$$ donde $\cos x$ nunca es 0. Por lo tanto, (en resumen) $\tan x$ está definida para todos los puntos de su dominio. Ahora queda la pregunta, ¿es $\tan x$ discontinua en $x = \pi/2$ (que está fuera de su dominio)?

La pregunta surge porque la prueba de continuidad en un libro de texto menciona que $f(x)$ es continua en $x = c$ cuando:

1. $f(c)$ existe.
2. $\lim_{x \to c} f(x)$ existe.
3. $f(c) = \lim_{x \to c} f(x)$ .

Y mi profesor dice que el fracaso de cualquiera de los resultados anteriores en $x = c$ siendo un punto de discontinuidad. Sin embargo, según mi opinión, la primera prueba anterior sólo comprueba el punto para su dominio y debería ser el criterio para cualquier punto de discontinuidad también.

Answer 1

Esto es una verdadera pesadilla para los profesores universitarios. Todos mis alumnos vienen a mi clase desde el instituto y están seguros de que $x \mapsto 1/x$ es discontinuo en $0$ . La razón por la que los libros de texto de cálculo son tan ambiguos es que a sus autores no les gusta dejar algo sin discutir. Por alguna razón, la respuesta a cualquier pregunta debe ser "sí" o "no"; de ahí que tiendan a afirmar formalmente que las funciones son discontinuas fuera de su dominio de definición.

En mi opinión, este es un enfoque muy malo: es un hecho que discontinuo debe no se lea como el negativo de continuo . El dominio de la definición marca la diferencia, y la idea más útil es la de extensión continua .

Casi cualquier matemático diría que la función tangente es continua dentro de su propio dominio de definición.

Answer 2

Me temo que la definición de la continuidad de una función $f$ en un punto determinado $x$ requiere que esa función se defina en $x$ . Si $x$ está fuera del dominio de $f$ entonces se puede decir que ni f es continua en $x$ ni que $f$ es discontinuo en $x$ . La definición simplemente no cubre tal situación.

También puede consultar el Definición de continuidad o Clasificación de las discontinuidades .

Answer 3

$\tan$ es continua. Como otros han mencionado, considerar la continuidad fuera del dominio no tiene sentido.

La continuidad puede hacerse más evidente si se considera $\tan$ como una restricción de su extensión natural a una función de $\mathbf R$ a la compactación de un punto de los reales $\mathbf R\cup \{\infty\}$ . La extensión hace "círculos" completos de forma continua, y una restricción de una función continua es de nuevo continua.

En general, los cocientes de funciones continuas son continuos donde se definen, porque la función $\varphi:(x,y)\mapsto x/y$ es continua para un valor distinto de cero $y$ por lo que para los continuos $f,g$ podemos considerar $f/g$ como composición $\varphi\circ (f,g)$ y la composición de funciones continuas es continua.

Answer 4

No hay definiciones "correctas" o "incorrectas", pero sí hay definiciones "estándar" y "no estándar". En mi opinión, la definición de continuidad de tu libro de texto no es estándar cuando se aplica a funciones definidas en conjuntos con puntos aislados. Por ejemplo, la función $f:{\mathbb Z} \to {\mathbb R}$ definido por $f(x) = x$ es una función continua según la definición estándar pero es discontinua según la definición de tu libro de texto.

He aquí una definición estándar.

Dejemos que $D \subset {\mathbb R}$ y $f:D \to {\mathbb R}$ . Decimos que $f$ es continua en el punto $c$ si se cumple una de las siguientes condiciones:

1. $c$ es un punto límite de $D$ y $\lim_{x\to c} f(x) = c$ o
2. $c$ es un punto aislado de $D$ .

Algunos libros de texto definen discontinuidades esenciales incluso para los puntos en $\bar D$ de la siguiente manera.

Dejemos que $E \subset {\bar D}$ . Decimos que $c\in E$ es una discontinuidad esencial de $f$ en $E$ si no hay una función $\hat f: E \to {\mathbb R}$ tal que

1. ${\hat f}(x) = f(x)$ para $x\in D\cap E$ ,
2. $\hat f(x)$ es continua en el punto $c$ .

Según esta definición , $\pi/2$ es una discontinuidad esencial de $\tan x$ en $\mathbb R$ . Por supuesto, es importante lo que el conjunto $E$ es, en esta definición. Por ejemplo, consideremos la función $g(x):{\mathbb R} \setminus {\mathbb Z}\to \mathbb R$ definido por $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$ . Entonces 0 no es una discontinuidad esencial de $g(x)$ en $[0, 1)$ ni en $(-1,0]$ . Pero 0 es una discontinuidad esencial de $g(x)$ en $(-1,1)$ .

Answer 5

Una forma de interpretar el punto 1. es decir que si $x=c$ no está en el dominio de $f$ entonces $f$ es no continua en $x=c$ .