¿Por qué consideramos que los números primos importante, y cuáles son sus otras aplicaciones de la teoría de los números en matemáticas puras? Sé que la teoría de números es la dedicada al estudio de los números primos, pero debe haber otra razón para el estudio de las propiedades de los números primos, ¿verdad?
Respuestas
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Me gustaría empezar diciendo que gran parte de la teoría de números, en la medida en que realmente se puede describir de la teoría de números en una sola frase, se dedica a resolver ecuaciones con números enteros soluciones. Y resulta que la comprensión de cómo estas ecuaciones se comportan con respecto a los números primos es a menudo la clave para la comprensión de cómo se comportan con respecto a todos los números enteros.
Los números primos son también importantes en la comprensión de muchos conceptos en álgebra abstracta, que generalizar más allá de la teoría de números. Por ejemplo, si vemos un objeto con un número finito de simetrías, primos desempeñan un papel importante en la comprensión de estas simetrías (lo que estoy aludiendo aquí es finito teoría del grupo).
Además, gran parte del resumen de la maquinaria desarrollada para entender los números primos ha encontrado aplicaciones en otras áreas, en particular de la geometría. Cuando nos fijamos en el conjunto de ceros de un polinomio o complejo de la analítica de la función en el espacio, lo hacemos tratando de entender la irreductible de los componentes de estos grupos, que corresponden a algo llamado "primer ideales".
No voy a entrar en la Hipótesis de Riemann, excepto para decir que una sola conjetura (que no somos capaces de probar en el presente) es a la vez una declaración acerca de los números primos, las funciones complejas, la convergencia de la serie, y al azar matricies, para nombrar sólo algunos de los múltiples formulaciones.
Pero tal vez la mejor razón para el estudio de los números primos es que son simultáneamente de primaria y misterioso. Es notable lo poco que sabemos acerca de estos números después de deliberar durante milenios. Para muchos matemáticos, que por sí sola es suficiente motivación.
lhf
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La estructura aditiva de los números enteros es trivial: es generado por 1. Este es, en esencia, los axiomas de Peano.
La estructura multiplicativa de los números enteros no es trivial: es generado por los números primos. En otras palabras, los números primos son los multiplicativo de bloques de construcción de los números enteros en el sentido de que cada número distinto de cero es un primo, o un producto de números primos (el vacío del producto da 1).
Esto le da una rica estructura de anillo de los enteros. La teoría de los números es acerca de esa estructura. A esto se añade la increíble regular de la irregularidad de los números primos y se obtiene la riqueza de métodos analíticos.
Andrei Rînea
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Una de las razones es que los números primos son la base de RSA criptografía, que se basa enteramente en el uso de grandes números primos en maneras inteligentes. El estudio de los números primos directamente puede cambiar la forma de asegurar creemos que el algoritmo de cifrado RSA. Actualmente creemos que sea muy seguro, pero un inesperado avance en el estudio de los números primos podría conducir a una manera de romper, es decir, tendríamos que cambiar a otra cosa.
Esto ciertamente tiene aplicación en el mundo real en que RSA criptografía es (a mi conocimiento) el estándar de muchas cosas importantes y sensibles de la información (pienso que los bancos, las tarjetas de crédito en línea, etc).
tocs
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Relación de los números primos también son útiles cuando la construcción de los trenes de engranaje. Ayuda a reducir el desgaste. Si un equipo tiene un número de dientes que es un factor de los otros equipos de la misma dientes siempre están en contacto el uno con el otro.
Por ejemplo, si un equipo tiene 10 dientes y el otro 20, el primer diente en la 10t gear siempre entra en contacto con el 1 y el 11 de dientes en el 20t engranaje.
Si, por otro lado, un equipo de 11 dientes, y la segunda tiene 20 dientes (20 no es primo, pero 11 y 20 no tienen factores comunes) de la primera rotación el primer diente de contactos el 1 y el 12 dientes en la primera revolución y el 3 y el 14 en el segundo, el 5 y el 16 en la tercera, y se llevará a 21 vueltas para volver al primer diente.
En la naturaleza los números primos muestran de vez en cuando. Las cigarras viven bajo tierra para el primer número de años antes de venir y hacer un montón de raqueta (aquí es un blog post sobre ello http://www.factodiem.com/2010/04/prime-years-of-life.html)
Por supuesto, un montón de cosas que son importantes para el estudio, no por lo que se HAN utilizado para pero para las cosas que van a ser utilizados.
Espero que esto ayude.
Arctictern
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Los números primos tienen conexiones a los números pseudo-aleatorios. También pueden tener conexiones a la "verdadera aleatoriedad", pero no sé si ha habido mucho progreso en las conjeturas que apuntan en esta dirección. Me pregunto si la Hipótesis de Riemann es equivalente a una declaración sobre la relación de los números primos "verdadera aleatoriedad", o si, al menos, implica una declaración.
