Superficies que son 'accesibles en todas partes' para una partícula newtoniana posicionada aleatoriamente con un vector de velocidad arbitrario

Question

Considera una partícula clásica idealizada confinada a una superficie bidimensional sin fricción. La posición inicial de la partícula en la superficie se elige al azar, se le asigna un vector de velocidad distinto de cero y la dirección del movimiento de la partícula solo cambia en los límites de la superficie donde ocurren colisiones perfectamente elásticas (es decir, no hay pérdida de información con el tiempo).

Mi pregunta es - ¿Existe alguna superficie acotada donde la probabilidad de que la partícula visite cualquier posición dada en algún momento 't', P(x, y, t), se vuelva igual a la unidad en el tiempo infinito? En otras palabras, sin importar dónde inicialicemos la partícula, y sin importar el vector de velocidad asignado, ¿hay superficies que siempre serán 'accesibles en todas partes'?

(Una vez más, agradezco cualquier ayuda para formular esta pregunta de una manera más apropiada...)

Answer 1

Interpretaré tu pregunta como si estuvieras preguntando si las trayectorias de las partículas están "equidistribuidas" en el sentido de los sistemas dinámicos. Hay una amplia literatura sobre este tipo de cosas, aunque generalmente en lugar de "partículas", los autores hablan de "billares". Si bien no conozco la respuesta a tu pregunta tal como está planteada, sé que hay muchos ejemplos donde las trayectorias se vuelven equidistribuidas para elecciones "genéricas" de posiciones y direcciones iniciales (en otras palabras, las elecciones "malas" forman un conjunto de medida cero).

Se pueden encontrar muchos ejemplos y resultados de esta forma en el maravilloso estudio "Billares racionales y estructuras planas" de Masur y Tabachnikov, que está disponible en la página web de Masur.

EDITAR: ¡Se me olvidó una referencia interesante! Serge Tabachnikov ha escrito un libro muy accesible titulado "Geometría y Billares" que está disponible en su página web aquí.

Answer 2

Para complementar la respuesta de Andy, hay una encuesta reciente de Laura Demarco, "La geometría conforme de los billares," Boletín AMS 48(1), enero de 2011, pp. 33-52. Ella define una mesa de billar como ergódicamente óptima si, para cada dirección $\theta$, cada trayectoria que evita los vértices es periódica, o cada trayectoria que evita los vértices está "uniformemente distribuida." Puede que tu criterio de 'accesibilidad en todas partes' esté adecuadamente capturado por su definición de uniformemente distribuido. También se llaman dinámicas ergódicamente óptimas La dicotomía de Veech.

Cualquier mesa de billar que pueda ser cubierta por cuadrados es ergódicamente óptima; en particular, el cuadrado lo es (cada $\theta$ racional es periódico, cada $\theta$ irracional llevará a la partícula "pasando tiempo igual en regiones de igual área" [evitando vértices]). El $n$-gono regular es ergódicamente óptimo.

Existen ejemplos que tienen trayectorias de billar que son densas pero no uniformemente distribuidas.

Answer 3

Creo que las respuestas no están a la pregunta (al menos como se le pide). El ergodicity de la línea geodésica de flujo (que por cierto, tiene para todos los negativamente superficies curvas-un hecho sorprendente que no se menciona en ninguna de las respuestas anteriores) no significa que fija geodésica de aciertos de cada punto de la superficie eventualmente, sino simplemente que se convertirá en la densa (bueno, más que eso, pero menos de golpear cada punto). El OP pregunta para cada punto de ser golpeado.