si $f(x + y) = f(x)f(y)$ es continua, entonces tiene que ser inyectiva.

Question

Dejemos que $f$ : $\Bbb R$ $\rightarrow$ $\Bbb R$ sea una función no constante tal que $f(a + b) = f(a)f(b)$ para todos los números reales $a$ y $b$ .

Demostrar que si $f(x + y) = f(x)f(y)$ es continua, entonces tiene que ser inyectiva.

He deducido algunas propiedades útiles de esta función, como por ejemplo $f(x)\neq0;f(0) = 1 ; f(x) = \frac{1}{\mathrm f(-x)}$

Para demostrar $f$ es inyectiva, necesito demostrar que $f(x) = f(y)$ implica que $x = y$

Supongo que hay $x, y \in \Bbb R$ tal que $f(x) = f(y)$ $$f(x) = \frac{1}{f(-y)}$$ $$f(x)f(-y) = 1$$ $$f(x - y) = 1$$ Para terminar la prueba necesito demostrar $f(x) = 1$ implica $x = 0$ . Aquí es donde me quedé atascado.

No sé si estoy en el camino correcto. Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Sugerencia : demuestre que $f(t)=f(\frac{t}{2})^2$ . Deduce $f\geq 0$ . Sea $G=\lbrace x\in{\mathbb R} | f(x)=1\rbrace$ . Entonces $G$ es un subgrupo aditivo de $\mathbb R$ . Si $f$ es continua también es un subgrupo cerrado. Además, demuestre que $t\in G \Rightarrow \frac{t}{2} \in G$ utilizando la identidad anterior. Deducir que $G$ es denso si $G\neq \lbrace 0 \rbrace$ . Concluya.