¿Por qué tratar el campo escalar complejo y su conjugado complejo como dos campos diferentes?

Question

Soy nuevo en QFT, así que puede que tenga alguna terminología incorrecta.

Muchos libros de QFT proporcionan un ejemplo de derivación de ecuaciones de movimiento para varias teorías libres. Un ejemplo es para un campo escalar complejo: $$\mathcal{L}_\text{compl scaclar}=(\partial_\mu\phi^*)(\partial^\mu\phi)-m^2\phi^*\phi.$$ El "truco" habitual para obtener las ecuaciones del movimiento es tratar $\phi$ y $\phi^*$ como campos separados. Incluso después de este truco, los autores optan por tratarlos como campos separados en su terminología. Esto se hace a veces antes de imponer la segunda cuantización en las relaciones de conmutación, de modo que $\phi$ no es (todavía) un campo de operadores. (En particular, estoy siguiendo la formulación de la QFT en este libro de Robert D. Klauber, "Student Friendly Quantum Field Theory". )

¿Cuál es la motivación de este método para tratar los dos campos por separado? Intuitivamente quiero tratar $\phi^*$ simplemente como el complejo conjugado de $\phi,$ no como un campo separado, y trabajar exclusivamente con $\phi$ .

¿Es simplemente un atajo para obtener las ecuaciones del movimiento $$(\square +m^2)\phi=0\\ (\square + m^2)\phi^*=0~?$$

También entiendo que se podría escribir $\phi=\phi_1+i\phi_2$ donde los dos campos con subíndice son reales, como se hace aquí Quizás esto responda a mi pregunta de una manera que no entiendo.

Answer 1

TL;DR: Sí, es sólo un atajo. El punto principal es que el mapa complejizado

$$\tag{A} \begin{pmatrix} \phi \\ \phi^{*} \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 1 & i\\ 1 &-i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \end{pmatrix} $$

es un mapa biyectivo : $\mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2 $ .

Notación en esta respuesta: En esta respuesta, dejemos $\phi,\phi^{*}\in \mathbb{C}$ denotan dos independiente campos complejos. Sea $\overline{\phi}$ denotan el complejo conjugado de $\phi$ .

I) Empecemos por el principio. Imaginemos que consideramos una teoría de campo de un campo escalar complejo $\phi$ . Se nos da una densidad lagrangiana

$$\tag{B} {\cal L}~=~{\cal L}(\phi,\overline{\phi},\partial\phi, \partial\overline{\phi})$$

que es un polinomio en $\phi$ , $\overline{\phi}$ y sus derivadas espaciotemporales. Siempre podemos descomponer un campo complejo en partes reales e imaginarias

$$\tag{C} \phi~\equiv~\phi_1+ i \phi_2 ,$$

donde $\phi_1,\phi_2 \in \mathbb{R}$ . De ahí que podamos reescribir la densidad lagrangiana (B) como una teoría de dos campos reales

$$\tag{D}{\cal L}~=~{\cal L}(\phi_1,\phi_2,\partial\phi_1, \partial\phi_2).$$

II) Podemos continuar al menos de tres maneras:

1. Variar la acción con respecto a las dos variables reales independientes $\phi_1,\phi_2 \in \mathbb{R}$ .

2. Originalmente $\phi_1,\phi_2 \in \mathbb{R}$ son, por supuesto, dos real campos. Pero podemos complejizarlos, variando la acción con respecto a las dos variables complejas independientes $\phi_1,\phi_2 \in \mathbb{C}$ si al final del cálculo imponemos las dos condiciones reales $$\tag{E} {\rm Im}(\phi_1)~=~0~=~{\rm Im}(\phi_2). $$

3. O, equivalentemente, podemos sustituir el campo complejo conjugado $\overline{\phi}\to \phi^{*}$ en la densidad lagrangiana (B) con un independiente nueva variable compleja $\phi^{*}$ es decir, tratar $\phi$ y $\phi^{*}$ como dos variables complejas independientes, variar la acción con respecto a las dos variables complejas independientes $\phi,\phi^{*} \in \mathbb{C}$ si al final del cálculo imponemos la condición compleja $$\tag{F} \phi^{*} ~=~ \overline{\phi}. $$

III) Las ecuaciones de Euler-Lagrange que derivamos mediante los dos métodos (1) y (2) serán, obviamente, exactamente las mismas. Las ecuaciones de Euler-Lagrange que derivamos mediante los dos métodos (2) y (3) serán simplemente combinaciones lineales entre sí con coeficientes dados por la matriz constante de la ec. (A).

IV) Mencionamos para completar que la teoría complejizada [es decir, la teoría que obtendríamos si no impusiéramos la condición (E), o equivalentemente, la condición (F)] no es típicamente unitario y, por tanto, mal definida como QFT. Recordemos para empezar que solemos exigir que la densidad lagrangiana sea real.

Referencias:

1. Sidney Coleman, Notas de QFT ; p. 56-57.

Answer 2

Me gustaría hacer un comentario, que puede aclarar y simplificar un poco las cosas.

En el análisis complejo [véase, por ejemplo, ``Introducción al análisis complejo'' de B.V. Shabat] por definición derivadas sobre las variables complejas $z$ y $\bar z$ están dadas por: $$ \mbox{def:} \quad \partial_z \equiv \frac{1}{2} \left(\partial_{\rm a} - i \partial_{b}\right) \quad \partial_{\bar z} \equiv \frac{1}{2} \left(\partial_{\rm a} + i \partial_{b}\right), $$ donde $a$ y $b$ representan las partes real e imaginaria de $z$ de la misma manera. Las igualdades $$\partial_{ z} \bar z = 0 \quad \mbox{and} \quad \partial_{\bar z} z = 0 $$ implican, que las variaciones sobre z y $\bar z$ son independientes, mientras que las variables $z$ y $\bar z$ (siendo mutuamente complejos conjugados) son no independiente. No hay ninguna duplicación de grados de libertad, pero se puede variar sobre el campo y su conjugado considerándolos como independientes.

Answer 3

Por supuesto Respuesta de @QMechanic es correcto.

Me gustaría mostrar una razón muy sencilla por la que esto es así (y también señalar posibles generalizaciones)

En primer lugar, cualquier número complejo $z=a+bi$ es bidimensional y cada parte (la parte real $a$ o la parte imaginaria $bi$ ) pueden ser completamente independientes entre sí. Como resultado, un número complejo puede representar en forma condensada 2 números . Además, esto significa también que para determinar completamente un número complejo es necesario determinar también cada una de las dimensiones .

Por otro lado, a partir de cada número complejo $z=a+bi$ (junto con su conjugado complejo $\bar{z}=a-bi$ ), se puede calcular 2 números reales ( $a$ , $b$ ) como:

$$a = (z + \bar{z})/2$$

$$b = (z - \bar{z})/{2i}$$

Desde $a$ y $b$ pueden ser completamente independientes entre sí, por lo que $z$ y $\bar{z}$ .

Hay un simetría completa de la representación (si es que se puede utilizar este término).

Esto significa que en la QFT (por ejemplo), en lugar de hacer variaciones sobre la $a$ , $b$ campos reales, uno puede equivalentemente (por la misma razón) hacer variaciones en el $z$ , $\bar{z}$ campos complejos, etc.

ACTUALIZACIÓN:

Para entrar un poco más en la matemática abstracta.

La conjugación compleja es el automorfismo (natural) del campo de los números complejos . Además, el conjugado complejo de un número complejo $z$ no puede se derivan de cualquier función analítica de $z$ (que significa aproximadamente funciones racionales de $z$ y series de potencia). Esto hace que el complejo conjugado $\bar{z}$ candidato natural para ser tratado como un campo separado.

Prueba: ¿Cuántos componentes se necesitan para calcular la velocidad $v=dx/dt$ de un objeto con posición $x$ y ¿pueden considerarse independientes? O en otras palabras conocer la posición $x$ (en un momento dado $t$ ), ¿podemos saber también la velocidad $v$ (a la misma hora)??

Answer 4

(Este post es una respuesta a la pregunta marcada como duplicada allí : Campos independientes y la densidad de Lagrange de la ecuación de Schrodinger )

La densidad lagrangiana del Schr $\ddot{\bf o}$ ecuación de dinger

La necesidad de tratar los campos complejos $\:\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}\:$ como independiente quedará claro en el siguiente esfuerzo por construir una Densidad Lagrangiana aceptada para el Schr $\ddot{\rm o}$ ecuación de Dinger.

Con un potencial real $V$ el Schr $\ddot{\rm o}$ dinger y su conjugado complejo son \begin{align} &\hphantom{--}\!i\hbar \overset{\:\:\centerdot}{\psi}\:\boldsymbol{+}\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi\:\:\boldsymbol{-}V\left(\mathbf{x},t\right)\psi\, \boldsymbol{=} 0\,,\quad \,\psi\,\left(\mathbf{x},t\right) \in \mathbb{C}\,, \quad \overset{\:\:\centerdot}{\psi}\,\boldsymbol{\equiv} \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \tag{C-01.1}\label{eqC-01.1}\\ &\boldsymbol{-}i\hbar \overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\!\boldsymbol{+}\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi^{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{-}V\left(\mathbf{x},t\right)\psi^{\boldsymbol{*}}\! \boldsymbol{=} 0\,,\quad \psi^{\boldsymbol{*}}\!\left(\mathbf{x},t\right) \in \mathbb{C}\,, \quad \overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\!\!\boldsymbol{\equiv} \dfrac{\partial \psi^{\boldsymbol{*}}}{\partial t} \tag{C-01.2}\label{eqC-01.2} \end{align}

Para encontrar una densidad de Lagrange cambiamos de los campos complejos $\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}$ a los campos reales $\psi_1,\psi_2$ -las partes reales e imaginarias de $\psi$ \begin{equation} \left. \begin{cases} \psi \:\boldsymbol{=} \psi_1 \boldsymbol{+}\mathrm i\, \psi_2\\ \psi^{\boldsymbol{*}} \! \boldsymbol{=} \psi_1 \boldsymbol{-}\mathrm i\, \psi_2 \end{cases} ¡\! \N - derecha} \qquad \psi_1,\psi_2 \Nen \mathbb{R} \tag{C-03}\label{eqC-03} \fin{de} {ecuación}

Añadiendo \eqref {eqC-01.1} $\boldsymbol{+}$\eqref {eqC-01.2} $\boldsymbol{\Longrightarrow}$

\begin{equation} \mathrm i\hbar\left(\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\boldsymbol{-} \overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\right)\boldsymbol{+}\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\left(\psi\boldsymbol{+} \psi^{\boldsymbol{*}}\right)\boldsymbol{-}V\left(\psi\boldsymbol{+} \psi^{\boldsymbol{*}}\right)\boldsymbol{=} 0 \nonumber \end{equation}

\begin{equation} \boxed{\:\: \boldsymbol{-}\hbar\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2\boldsymbol{+}\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi_1\boldsymbol{-}V\psi_1\boldsymbol{=} 0\:\:} \tag{C-04}\label{eqC-04} \end{equation}

Restando \eqref {eqC-01.1} $\boldsymbol{-}$\eqref {eqC-01.2} $\boldsymbol{\Longrightarrow}$

\begin{equation} \mathrm i\hbar\left(\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\boldsymbol{+} \overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\right)\boldsymbol{+}\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\left(\psi\boldsymbol{-} \psi^{\boldsymbol{*}}\right)\boldsymbol{-}V\left(\psi\boldsymbol{-} \psi^{\boldsymbol{*}}\right)\boldsymbol{=} 0 \nonumber \end{equation}

\begin{equation} \boxed{\:\:\hphantom{\boldsymbol{-}}\hbar\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_1\boldsymbol{+}\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi_2\boldsymbol{-}V\psi_2\boldsymbol{=} 0\:\:} \tag{C-05}\label{eqC-05} \end{equation} Ecuaciones \eqref {eqC-04}, \eqref {eqC-05} son independientes con respecto a los campos reales $\psi_1,\psi_2$ . Por tanto, debemos tratar estos campos como independientes. Estas dos ecuaciones son candidatas a ser las ecuaciones de Euler-Lagrange de la teoría de Schr $\ddot{\rm o}$ ecuación de Dinger.

Así pues, consideremos la densidad lagrangiana como función de estos campos y sus derivadas espacio-temporales
\begin{equation} \mathcal{L}\left(\psi_1,\boldsymbol{\nabla}\psi_1,\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_1,\psi_2,\boldsymbol{\nabla}\psi_2, \overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2\right) \tag{C-06}\label{eqC-06} \end{equation} Las ecuaciones de Euler-Lagrange son \begin{equation} \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\:\:\centerdot}{\psi}_k}\right)\boldsymbol{+}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\psi_k\right)}\right]\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi_k}\boldsymbol{=}0\,, \quad k=1,2 \tag{C-07}\label{eqC-07} \end{equation} es decir \begin{align} \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\:\:\centerdot}{\psi}_1}\right)\boldsymbol{+}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\psi_1\right)}\right]\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi_1} & \boldsymbol{=}0 \tag{C-08.1}\label{eqC-08.1}\\ \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2}\right)\boldsymbol{+}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\psi_2\right)}\right]\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi_2} & \boldsymbol{=}0 \tag{C-08.2}\label{eqC-08.2} \end{align} Expresión de ecuaciones \eqref {eqC-04} y \eqref {eqC-05} en formas similares a \eqref {eqC-07} tenemos \begin{align} \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\boldsymbol{-}\hbar\psi_2\right)\boldsymbol{+}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\biggl[\dfrac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol{\nabla}\psi_1\biggr]\boldsymbol{-}V\psi_1 &\boldsymbol{=} 0 \tag{C-09.1}\label{eqC-09.1}\\ \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\boldsymbol{+}\hbar\psi_1\right)\boldsymbol{+}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\biggl[\dfrac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol{\nabla}\psi_2\biggr]\boldsymbol{-}V\psi_2 &\boldsymbol{=} 0 \tag{C-09.2}\label{eqC-09.2} \end{align} Si suponemos que \eqref {eqC-09.1} y \eqref {eqC-09.2} se producen a partir de \eqref {eqC-08.1} y \eqref {ec. C-08.2} respectivamente, entonces tenemos buenas razones para adivinar lo siguiente \begin{equation} \left. \begin{cases} \left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2}\right)\stackrel{\text {to give}}{-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow} \alpha\,\hbar\,\psi_1\\ \left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\:\:\centerdot}{\psi}_1}\right)\stackrel{\text {to give}}{-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow} \beta\,\hbar\,\psi_2 \end{cases} \N - Derecho.} \N - Flecha derecha \N - Izquierda. \begin{cases} \alpha\,\hbar\,\psi_1\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2 \in \mathcal{L}\vphantom{\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2}\right)}\\ \beta\,\hbar\,\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_1\psi_2 \in \mathcal{L}\vphantom{\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2}\right)} \end{cases} \derecha} \tag{C-10}\label{eqC-10} \N - fin {ecuación}

\begin{equation} \left. \begin{cases} \left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\psi_1\right)}\right]\stackrel{\text {to give}}{-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow} \gamma\,\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\boldsymbol{\nabla}\psi_1\\ \left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\psi_2\right)}\right]\stackrel{\text {to give}}{-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow} \delta\,\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\boldsymbol{\nabla}\psi_2 \end{cases} \N - Derecho.} |Longrightarrow \N - Izquierda. \begin{cases} \gamma\,\dfrac{\hbar^2}{4m}\,\Vert\boldsymbol{\nabla}\psi_1\Vert^2 \in \mathcal{L}\vphantom{\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\psi_1\right)}\right]}\\ \delta\,\dfrac{\hbar^2}{4m}\,\Vert\boldsymbol{\nabla}\psi_2\Vert^2 \in \mathcal{L}\vphantom{\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\psi_1\right)}\right]} \end{cases} \derecha} \tag{C-11}\label{eqC-11} \N - fin {ecuación}

\begin{equation} \left. \begin{cases} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi_1}\stackrel{\text {to give}}{-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow} \zeta\,V\psi_1\vphantom{\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\psi_1\right)}\right]}\\ \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi_2}\stackrel{\text {to give}}{-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow} \eta\,V\psi_2\vphantom{\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\psi_1\right)}\right]} \end{cases} \N - Derecho.} \N - Flecha derecha \N - Izquierda. \begin{cases} \zeta\,V\psi^2_1 \in \mathcal{L}\vphantom{\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\psi_1\right)}\right]}\\ \eta\,V\psi^2_2 \in \mathcal{L}\vphantom{\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\psi_1\right)}\right]} \end{cases} \derecha} \tag{C-12}\label{eqC-12} \N - fin {ecuación} De las ecuaciones \eqref {eqC-10}, \eqref {eqC-11} y \eqref {eqC-12} concluimos que la densidad lagrangiana de \eqref {eqC-06} debe tener la forma general \begin{align} &\mathcal{L}\left(\psi_1,\boldsymbol{\nabla}\psi_1,\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_1,\psi_2,\boldsymbol{\nabla}\psi_2, \overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2\right)\boldsymbol{=} \nonumber\\ &\alpha\,\hbar\,\psi_1\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2 \boldsymbol{+}\beta\,\hbar\,\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_1\psi_2 \boldsymbol{+}\gamma\,\dfrac{\hbar^2}{4m}\,\Vert\boldsymbol{\nabla}\psi_1\Vert^2\boldsymbol{+}\delta\,\dfrac{\hbar^2}{4m}\,\Vert\boldsymbol{\nabla}\psi_2\Vert^2\boldsymbol{+}\zeta V\psi_1^2\boldsymbol{+}\eta V\psi^2_2 \tag{C-13}\label{eqC-13} \end{align} donde $\:\alpha,\beta,\gamma,\delta,\zeta,\eta \:$ coeficientes reales a determinar.

Insertando esta expresión de $\;\mathcal{L}\;$ en \eqref {eqC-08.1}, \eqref {ec. C-08.2} tenemos respectivamente \begin{align} \dfrac{\partial }{\partial t}\biggl[\left(\beta\boldsymbol{-}\alpha \right)\hbar\,\psi_2\biggr]\boldsymbol{+}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\biggl[\gamma\,\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\boldsymbol{\nabla}\psi_1\biggr]\boldsymbol{-}2\zeta V\psi_1 & \boldsymbol{=}0 \tag{C-14.1}\label{eqC-14.1}\\ \dfrac{\partial }{\partial t}\biggl[\left(\alpha\boldsymbol{-}\beta \right)\hbar\,\psi_1\biggr]\boldsymbol{+}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\biggl[\delta\,\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\boldsymbol{\nabla}\psi_2\biggr]\boldsymbol{-}2\eta V\psi_2 & \boldsymbol{=}0 \tag{C-14.2}\label{eqC-14.2} \end{align} Comparando \eqref {eqC-14.1}, \eqref {ec. C-14.2} con \eqref {eqC-09.1}, \eqref {ec. C-09.2} debemos tener \begin{equation} \dfrac{\alpha\boldsymbol{-}\beta}{1}=\dfrac{\beta\boldsymbol{-}\alpha}{\boldsymbol{-}1}=\dfrac{\gamma}{1}=\dfrac{\delta}{1}=\dfrac{2\zeta}{1}=\dfrac{2\eta}{1}=\lambda \tag{C-15}\label{eqC-15} \end{equation} Fijación del factor libre común $\;\lambda=\boldsymbol{-}2\;$ tenemos $\beta=\alpha+2,\,\gamma=\delta=-2,\, \zeta=\eta=-1$ y la ecuación \eqref {eqC-13} produce \begin{align} &\mathcal{L}\left(\psi_1,\boldsymbol{\nabla}\psi_1,\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_1,\psi_2,\boldsymbol{\nabla}\psi_2, \overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2\right)\boldsymbol{=} \nonumber\\ &\alpha\,\hbar\,\psi_1\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2 \boldsymbol{+}\left(\alpha\boldsymbol{+}2\right)\hbar\,\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_1\psi_2\boldsymbol{-}\dfrac{\hbar^2}{2m}\left(\Vert\boldsymbol{\nabla}\psi_1\Vert^2\boldsymbol{+}\Vert\boldsymbol{\nabla}\psi_2\Vert^2\right)\boldsymbol{-}V\left(\psi^2_1\boldsymbol{+}\psi^2_2\right) \tag{C-16}\label{eqC-16} \end{align} Volvemos ahora de los campos reales $\psi_1,\psi_2$ a los campos complejos $\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}$ sustituyendo en \eqref {eqC-16} \begin{equation} \left. \begin{cases} \psi_1 \boldsymbol{=} \dfrac{\psi\boldsymbol{+}\psi^{\boldsymbol{*}}}{2}\\ \psi_2 \boldsymbol{=} \mathrm i \dfrac{\psi^{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{-}\psi}{2} \end{cases} \derecha} \tag{C-17}\label{eqC-17} \N - fin {ecuación} Ahora \begin{align} \alpha\,\hbar\,\psi_1\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2 & \boldsymbol{=}\mathrm i\,\alpha\,\hbar\,\left(\dfrac{\psi\boldsymbol{+}\psi^{\boldsymbol{*}}}{2}\vphantom{\dfrac{\overset{\:\:\centerdot}{\psi}}{2}}\right)\left(\dfrac{\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\boldsymbol{-}\overset{\:\:\centerdot}{\psi}}{2}\right) \nonumber\\ &\boldsymbol{=}\mathrm i\,\alpha\,\hbar\, \left(\dfrac{\psi\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\boldsymbol{-}\psi\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\boldsymbol{+}\psi^{\boldsymbol{*}}\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\boldsymbol{-}\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\psi^{\boldsymbol{*}}}{4}\right) \tag{C-18.1}\label{eqC-18.1}\\ \left(\alpha\boldsymbol{+}2\right)\hbar\,\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_1\psi_2 &\boldsymbol{=}\mathrm i \left(\alpha\boldsymbol{+}2\right)\hbar\,\left(\dfrac{\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\boldsymbol{+}\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}}{2}\right)\left(\dfrac{\psi^{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{-}\psi}{2}\vphantom{\dfrac{\dot{\psi}}{2}}\right) \nonumber\\ &\boldsymbol{=}\mathrm i \left(\alpha\boldsymbol{+}2\right)\hbar\,\left(\dfrac{\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\psi^{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{-}\psi\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\boldsymbol{+}\psi^{\boldsymbol{*}}\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\boldsymbol{-}\psi\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}}{4}\right) \tag{C-18.2}\label{eqC-18.2} \end{align} así que \begin{equation} \alpha\,\hbar\,\psi_1\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_2 \boldsymbol{+}\left(\alpha\boldsymbol{+}2\right)\hbar\,\overset{\:\:\centerdot}{\psi}_1\psi_2\boldsymbol{=}\mathrm i\,\hbar\,\left(\dfrac{\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\psi^{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{-}\psi\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}}{2}\right) \boldsymbol{+}\mathrm i\,\hbar\,\left(\alpha\boldsymbol{+}1\right)\left(\dfrac{\psi^{\boldsymbol{*}}\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\boldsymbol{-}\psi\overset{\:\:\centerdot}{\psi}}{2}\right) \tag{C-19}\label{eqC-19} \end{equation} También \begin{equation} \Vert\boldsymbol{\nabla}\psi_1\Vert^2\boldsymbol{+}\Vert\boldsymbol{\nabla}\psi_2\Vert^2\boldsymbol{=}\left(\boldsymbol{\nabla}\psi_1\boldsymbol{+}\mathrm i\boldsymbol{\nabla}\psi_2\right)\boldsymbol{\cdot}\left(\boldsymbol{\nabla}\psi_1\boldsymbol{-}\mathrm i\boldsymbol{\nabla}\psi_2\right)\boldsymbol{=}\boldsymbol{\nabla}\psi\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla}\psi^{\boldsymbol{*}} \tag{C-20}\label{eqC-20} \end{equation} y \begin{equation} \psi_1^2\boldsymbol{+}\psi_2^2\boldsymbol{=}\left(\psi_1\boldsymbol{+}\mathrm i\psi_2\right)\left(\psi_1\boldsymbol{-}\mathrm i\psi_2\right)\boldsymbol{=}\psi\psi^{\boldsymbol{*}} \tag{C-21}\label{eqC-21} \end{equation} Inserción de las expresiones \eqref {eqC-19}, \eqref {eqC-20} y \eqref {eqC-21} en \eqref {eqC-16} tenemos finalmente

\begin{align} &\mathcal{L}\left(\psi,\boldsymbol{\nabla}\psi,\overset{\:\:\centerdot}{\psi},\psi^{\boldsymbol{*}},\boldsymbol{\nabla}\psi^{\boldsymbol{*}}, \overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\right)\boldsymbol{=} \nonumber\\ &\mathrm i\,\hbar\,\left(\dfrac{\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\psi^{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{-}\psi\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}}{2}\right) \boldsymbol{+}\mathrm i\,\hbar\,\left(\alpha\boldsymbol{+}1\right)\left(\dfrac{\psi^{\boldsymbol{*}}\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\boldsymbol{-}\psi\overset{\:\:\centerdot}{\psi}}{2}\right)\boldsymbol{-}\dfrac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol{\nabla}\psi\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla}\psi^{\boldsymbol{*}} \boldsymbol{-}V\psi\psi^{\boldsymbol{*}}\:\:\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}b}} \tag{C-22}\label{eqC-22} \end{align} No es difícil comprobar que las ecuaciones de Euler-Lagrange de la densidad lagrangiana anterior con respecto a $\:\psi^{\boldsymbol{*}}\:$ y $\:\psi\:$ son las Schr $\ddot{\rm o}$ ecuación de dinger \eqref {ec. C-01.1} y su complejo conjugado \eqref {eqC-01.2} respectivamente. Esto es válido para cualquier valor del parámetro $\:\alpha$ .

Ahora, la Densidad Lagrangiana que encontramos en muchos libros de texto \begin{equation} \mathcal{L}\left(\psi,\boldsymbol{\nabla}\psi,\overset{\:\:\centerdot}{\psi},\psi^{\boldsymbol{*}},\boldsymbol{\nabla}\psi^{\boldsymbol{*}}, \overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\right)=\mathrm i\hbar\psi^{\boldsymbol{*}}\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\!\boldsymbol{-}\dfrac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol{\nabla}\psi\!\boldsymbol{\cdot}\!\boldsymbol{\nabla}\psi^{\boldsymbol{*}} \!\boldsymbol{-}\!V\psi\psi^{\boldsymbol{*}} \tag{C-22a}\label{eqC-22a} \end{equation} no ha podido ser contactado desde \eqref {eqC-22} para cualquier valor del parámetro $\:\alpha$ . Para ello encontraremos una Densidad Lagrangiana más general. La idea básica proviene de la mecánica lagrangiana de los sistemas discretos. Sabemos que en ella las ecuaciones de Euler-Lagrange son invariantes bajo la adición a la función de Lagrange $\:L\left(q_{i},\overset{\!\centerdot}{q}_{i},t\right)\:$ del diferencial total de una función $\:F\left(q_{i}\right)\:$ de las coordenadas generalizadas. Extendiendo esta idea aquí observamos que las ecuaciones de Euler-Lagrange serán invariantes si a la Densidad Lagrangiana \eqref {ecuación C-22} añadimos el diferencial total de una función $\:F\left(\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}\right)\:$ de los campos complejos $\:\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}$ para que \begin{equation} \mathcal{L'}\boldsymbol{=}\mathcal{L}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial F\left(\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}\right)}{\partial t}\boldsymbol{=}\mathcal{L}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial F}{\partial \psi}\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial F}{\partial \psi^{\boldsymbol{*}}}\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}} \tag{C-23}\label{eqC-23} \end{equation} Utilizamos dos de las funciones más sencillas \begin{align} F_1\left(\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}\right) & \boldsymbol{=} \mathrm i\,\hbar\,\dfrac{\rho\,\psi\,\psi^{\boldsymbol{*}} }{2} \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{\partial F_1\left(\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}\right)}{\partial t}\boldsymbol{=}\mathrm i\,\hbar\,\left(\dfrac{\rho\,\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\psi^{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{+}\rho\,\psi\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}}{2}\right) \tag{C-24.1}\label{eqC-24.1}\\ F_2\left(\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}\right) & \boldsymbol{=} \mathrm i\,\hbar\,\dfrac{\sigma \left(\psi^{\boldsymbol{*}2}\boldsymbol{+}\psi^2\right)}{4} \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{\partial F_2\left(\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}\right)}{\partial t}\boldsymbol{=}\mathrm i\,\hbar\,\left(\dfrac{\sigma\,\psi^{\boldsymbol{*}}\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\boldsymbol{+}\sigma\,\psi\overset{\:\:\centerdot}{\psi}}{2}\right) \tag{C-24.2}\label{eqC-24.2} \end{align} para que \begin{equation} \mathcal{L'}\boldsymbol{=}\mathcal{L}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial F_1\left(\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}\right)}{\partial t}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial F_2\left(\psi,\psi^{\boldsymbol{*}}\right)}{\partial t} \tag{C-25}\label{eqC-25} \end{equation} Con $\:\chi\equiv\alpha\boldsymbol{+}1\:$ la nueva Densidad Lagrangiana más general es \begin{align} &\mathcal{L}\left(\psi,\boldsymbol{\nabla}\psi,\overset{\:\:\centerdot}{\psi},\psi^{\boldsymbol{*}},\boldsymbol{\nabla}\psi^{\boldsymbol{*}}, \overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\right)\boldsymbol{=} \nonumber\\ &\mathrm i\hbar\left[\dfrac{\left(1\!\boldsymbol{+}\!\rho\right)\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\psi^{\boldsymbol{*}}\!\boldsymbol{-}\!\left(1\!\boldsymbol{-}\!\rho\right)\psi\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}}{2}\right]\!\boldsymbol{+}\!\mathrm i\hbar\left[\dfrac{\left(\chi\!\boldsymbol{+}\!\sigma\right)\psi^{\boldsymbol{*}}\overset{\!\centerdot}{\psi^{\boldsymbol{*}}}\!\boldsymbol{-}\!\left(\chi\!\boldsymbol{-}\!\sigma\right)\psi\overset{\:\:\centerdot}{\psi}}{2}\right]\!\boldsymbol{-}\!\dfrac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol{\nabla}\psi\!\boldsymbol{\cdot}\!\boldsymbol{\nabla}\psi^{\boldsymbol{*}} \!\boldsymbol{-}\!V\psi\psi^{\boldsymbol{*}}\:\:\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}b}} \tag{C-26}\label{eqC-26} \end{align} De nuevo pudimos comprobar que las ecuaciones de Euler-Lagrange de la Densidad Lagrangiana anterior con respecto a $\:\psi^{\boldsymbol{*}}\:$ y $\:\psi\:$ son las Schr $\ddot{\rm o}$ ecuación de dinger \eqref {ec. C-01.1} y su complejo conjugado \eqref {eqC-01.2} respectivamente. Esto es válido para cualquier valor de los parámetros $\:\chi,\rho,\sigma$ . Pero sobre todo \begin{equation} \left. \begin{cases} \chi=0\\ \rho=1\\ \sigma=0 \end{cases} \N - Derecho.} |Longrightarrow \mathcal{L}=\mathrm i\hbar\psi^{\boldsymbol{*}}\overset{\:\:\centerdot}{\psi}\!\boldsymbol{-}\dfrac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol{\nabla}\psi\!\boldsymbol{\cdot}\!\boldsymbol{\nabla}\psi^{\boldsymbol{*}} \!\boldsymbol{-}\!V\psi\psi^{\boldsymbol{*}} \tag{C-27}\label{eqC-27} \fin{c} {ecuación} que es la Densidad Lagrangiana \eqref {eqC-22a}.