14 votos

Encontrar intermedios campos de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, | \, \mathbb{Q}(i)$

Este es el problema que me estoy enfrentando:

Calcular el intermedio de los campos de la extensión de $K | \mathbb{Q}(i)$ donde$K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i)$, y encontrar los intermedio campos de $M$ tal que $M | \mathbb{Q}(i)$ es un Galois la extensión.

Lo que he hecho:

Puedo empezar por pensar en el grado de la extensión de $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(i)]$

$[\mathbb{Q}(\sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(i)] = 2$ debido a la irreductible polinomial de $\sqrt{3}$ $\mathbb{Q}(i)$ $x^2 -3$ (desde $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}(i)$

$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(\sqrt{3},i)] = 3$ debido a la irreductible polinomial de $\sqrt[3]{2}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$ $x^3 -2$ (*)

Por lo tanto, $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(i)] =[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(\sqrt{3},i)] * [\mathbb{Q}(\sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(i)] = 3 * 2 = 6$

Ahora, un $\mathbb{Q}(i) $-base para $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i)$ $\{ 1, \sqrt[3]{2} \, \xi , \sqrt[3]{2} \, \xi^2, \sqrt{3} ,\sqrt{3} \sqrt[3]{2} \, \xi , \sqrt{3} \sqrt[3]{2} \, \xi^2 \}$

La no-lineal de elementos cuyas imágenes solucionar todos los $\sigma \in \textrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, | \, \mathbb{Q}(i))$ son:

$$ \sqrt{3} \to \pm \sqrt{3}$$ $$ \sqrt[3]{2} \to \{\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2} \, \xi, \sqrt[3]{2} \, \xi ^2 \}$$

La extensión de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, | \, \mathbb{Q}(i)$ es una extensión de Galois (es normal(la división de campo de la $(x^3-2)(x^2-3)$, separables (char($\mathbb{Q}(i)$) = 0) y finito) lo $| \textrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, | \, \mathbb{Q}(i)) | = 6$, lo que significa que todas las opciones son válidas.

Estoy atrapado aquí, ¿cómo puedo determinar el grupo de Galois, y el normal subgrupos (y entonces, ¿cómo extraer los campos correspondientes de los subgrupos?)

( * ) ¿Cómo mostrar justificar esto?

13voto

Kaj Hansen Puntos 15355

A la dirección de la (*):

$f(x) = x^3 - 2$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}[\sqrt{3}, i]$ desde $\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}$, e $\omega^2\sqrt[3]{2} \not\in \mathbb{Q}[\sqrt{3}, i]$. Si fuera así, tendríamos, por ejemplo, una torre de campos de $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}] \subset \mathbb{Q}[\sqrt{3}, i]$. Contradicción! Mirar los grados de las extensiones: $3$ no divide $4$.


Para abordar el quid de la cuestión:

Usted está cerca! Has hecho un buen poco de la obra ya.

Recuerde que la única grupos de orden $6$$\mathbb{Z}_6$$S_3$. Sin embargo, se ha encontrado $6$ automorfismos y ninguno de ellos generar todo el grupo. Por lo tanto, debe ser el caso de que $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}[i]) \cong S_3$.

A continuación, el teorema fundamental de la teoría de Galois nos dice que hay una correspondencia uno a uno entre los subgrupos de $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}[i])$ y los intermedios de los campos entre el $K$ $\mathbb{Q}[i]$ que arreglar. Hagamos una lista de los subgrupos de $S_3$. Ellos son:

  • $1$ copia del subgrupo trivial
  • $3$ copias de $\mathbb{Z}_2$
  • $1$ copia de $\mathbb{Z}_3$
  • Todo el grupo

Usted debe comprobar esto por sí mismo! Sugerencia: Lagrange del teorema nos dice que la única posible subgrupos cíclicos.

Obviamente el subgrupo trivial coincide con el campo total $K$. Todo el grupo coincide con el campo base $\mathbb{Q}[i]$.

A continuación, vamos a llamar a las dos 'generador' automorfismos de que usted los encontró a $\phi$ $\tau$ tal que $\phi(\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$$\tau(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}\xi$.

Usted debe verificar que las copias de $\mathbb{Z}_2$ son:

  • $\{id, \phi \}$
  • $\{id, \tau \phi \}$
  • $ \{id, \tau^2 \phi \} $

Y que de $\mathbb{Z}_3$$\{id, \tau, \tau^2\}$.

Algunos adecuada intermedios campos entre el $K$ $\mathbb{Q}[i]$ $\mathbb{Q}[i, \sqrt[3]{2}]$, $\mathbb{Q}[i, \sqrt{3}]$, $\mathbb{Q}[i, \sqrt[3]{2}\xi]$, y $\mathbb{Q}[i, \sqrt[3]{2}\xi^2]$. ¿Cómo sabemos que esto es una lista completa? Teniendo en cuenta que $\displaystyle \xi = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, lo voy a dejar para que coincida con los subgrupos con el intermediario campos de fijar.

Finalmente, para determinar el intermedio de los campos son de Galois sobre $\mathbb{Q}[i]$, basta con aplicar el hecho de que un campo intermedio $E$ es de Galois si y sólo si su correspondiente subgrupo es normal que un subgrupo de $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q[i]})$. ¿Cuáles son los subgrupos normales de $S_3$?

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X