Este es el problema que me estoy enfrentando:
Calcular el intermedio de los campos de la extensión de $K | \mathbb{Q}(i)$ donde$K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i)$, y encontrar los intermedio campos de $M$ tal que $M | \mathbb{Q}(i)$ es un Galois la extensión.
Lo que he hecho:
Puedo empezar por pensar en el grado de la extensión de $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(i)]$
$[\mathbb{Q}(\sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(i)] = 2$ debido a la irreductible polinomial de $\sqrt{3}$ $\mathbb{Q}(i)$ $x^2 -3$ (desde $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}(i)$
$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(\sqrt{3},i)] = 3$ debido a la irreductible polinomial de $\sqrt[3]{2}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$ $x^3 -2$ (*)
Por lo tanto, $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(i)] =[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(\sqrt{3},i)] * [\mathbb{Q}(\sqrt{3},i) \, : \, \mathbb{Q}(i)] = 3 * 2 = 6$
Ahora, un $\mathbb{Q}(i) $-base para $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i)$ $\{ 1, \sqrt[3]{2} \, \xi , \sqrt[3]{2} \, \xi^2, \sqrt{3} ,\sqrt{3} \sqrt[3]{2} \, \xi , \sqrt{3} \sqrt[3]{2} \, \xi^2 \}$
La no-lineal de elementos cuyas imágenes solucionar todos los $\sigma \in \textrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, | \, \mathbb{Q}(i))$ son:
$$ \sqrt{3} \to \pm \sqrt{3}$$ $$ \sqrt[3]{2} \to \{\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2} \, \xi, \sqrt[3]{2} \, \xi ^2 \}$$
La extensión de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, | \, \mathbb{Q}(i)$ es una extensión de Galois (es normal(la división de campo de la $(x^3-2)(x^2-3)$, separables (char($\mathbb{Q}(i)$) = 0) y finito) lo $| \textrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3},i) \, | \, \mathbb{Q}(i)) | = 6$, lo que significa que todas las opciones son válidas.
Estoy atrapado aquí, ¿cómo puedo determinar el grupo de Galois, y el normal subgrupos (y entonces, ¿cómo extraer los campos correspondientes de los subgrupos?)
( * ) ¿Cómo mostrar justificar esto?