Elementos de orden finito de $\text{GL}_4(\mathbb{Q})$

Question

Actualmente estoy estudiando para mis exámenes de calificación en álgebra, y no he sido capaz de resolver el siguiente problema:

Determinar todos los enteros positivos posibles $n$ tal que existe un elemento en $\text{GL}_4(\mathbb{Q})$ de orden $n$ .

He estado jugando con varias formas canónicas, pero no consigo entenderlo. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Dejemos que $A$ sea una matriz de orden finito $n$ . Consideremos su polinomio mínimo $m(x)$ .

El polinomio mínimo $m(x)$ de $A$ es irreducible sobre $\Bbb Q$ y $$m(x)\mid(x^n-1)$$ por lo que es un polinomio ciclotómico, y también tiene grado $\le4$ . Por lo tanto, $\varphi(n)\le4$ . Por la inspección $$n=2^a3^b5^c,$$ y después de escribir explícitamente los candidatos vemos que basta con determinar racionales $4\times4$ matrices de órdenes $8$ , $10$ y $12$ . Para la segunda, basta con negar un racional $4\times 4$ matriz de orden $5$ . Para la tercera, forme una matriz de bloques a partir de dos $2\times2$ matrices de órdenes $3$ y $4$ . Por último, para determinar las matrices de las dimensiones adecuadas de los órdenes $3,4,5,8$ , calcula la matriz de la multiplicación por $x$ transformación lineal en $\Bbb Q(x)$ para $x=\zeta_3,\zeta_4,\zeta_5,\zeta_8$ con respecto a (digamos) la base de potencia $\{1,x,\cdots\}$ .

De manera más general,

${\rm GL}_d(\Bbb Q)$ tiene un elemento de orden $n\iff \varphi(n)\le d.\,$ Se puede adaptar una prueba de lo anterior.

Answer 2

Hay algo que falla en la primera frase de la respuesta aceptada. El problema es que el polinomio mínimo de una matriz puede no ser irreducible. Por ejemplo, la matriz $$\begin{bmatrix}1& 1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}\in M_n(\mathbb{Q})$$ tiene un polinomio mínimo $(x-1)^2$ que es reducible.

Sin embargo, la conclusión para el $GL_4(\mathbb{Q})$ sigue siendo correcto. Esto se debe principalmente a que $4$ es demasiado pequeño.

Supongamos que $A$ tiene orden $n$ entonces $A$ satisface $x^n-1$ y $A^k - I\neq 0$ para todos $k< n$ . Sea $m(x)$ sea el polinomio mínimo de $A$ entonces tenemos 

1. $m(x)|x^n-1 = \prod_{d|n}\Phi_d(x)$
2. $m(x)\nmid x^k - 1$ para todos $k< n$

Desde $\Phi_d(x)$ son irreducibles (primos) sobre $\mathbb{Q}$ Por lo tanto $m(x) = \prod_{d_i} \Phi_{d_i}(x)$ para algunos distintos $d_i|n$ . Sea $k = lcm(d_1, d_2, \ldots)$ . Si $k<n$ entonces tenemos $m(x)|\Phi_k(x)$ que es una contradicción. Por lo tanto, debemos tener $lcm(d_1,d_2,\ldots) = n$ . Tenga en cuenta que $\deg m(x) \leq 4$ por lo que tenemos $\sum \phi(d_i) \leq 4$ . Luego, tras una tediosa comprobación (verificar todas las posibles $d_i$ ), seguimos obteniendo $\phi(n)\leq 4$ como afirma esa respuesta.

La conclusión general de esa respuesta es errónea. He aquí un contraejemplo concreto:

Trabajamos en $GL_8(\mathbb{Q})$ y demostramos que existe un elemento de orden $21$ Sin embargo, $\phi(21) = 12 > 8$ . Escoge $f_A(x) = m(x) = \Phi_3(x)\Phi_7(x)$ ( $f_A$ es el polinomio característico de $A$ ), entonces $\deg m(x) = \phi(3)+\phi(7) = 8$ . Además, tenga en cuenta que $m(x)\nmid x^k - 1$ para $k<21$ . (Supongamos que se divide, entonces $3|k, 7|k$ implica que $lcm(3,7) = 21 | k$ que es una contradicción). Por tanto, encontramos una matriz de orden 21 (A es invertible ya que el término constante de su polinomio característico $f_A$ es 1).