¿Existen infinitos pares racionales $(a,b)$ que satisfacen la ecuación dada?

Question

He visto en alguna página de facebook este ejemplo concreto:

$1.2^2+0.6^2=1.2+0.6$

La pregunta que surge inmediatamente es:

¿Existen infinitas parejas $(a,b)$ de números racionales tal que tenemos $a^2+b^2=a+b$ ?

Gracias por su respuesta.

Answer 1

Pista: $$a^2+b^2=a+b\implies{}a^2-a+b^2-b=0\implies{}2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+2\left(b-\frac{1}{2}\right)^2=1.$$

¿Qué puedes decir de esta ecuación con respecto al plano cartesiano? ¿Cuál es la parametrización de esta figura?

Answer 2

Soluciones reales:

La ecuación $$ a^2 + b^2 = a + b $$ puede transformarse: $$ a^2 + b^2 = a + b \iff \\ a^2 - a + b^2 -b = 0 \iff \\ (a - 1/2)^2 + (b - 1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2 = (1/\sqrt{2})^2 \quad (*) $$ Las soluciones forman un círculo con origen $(1/2, 1/2)$ y radio $1/\sqrt{2}$ en $\mathbb{R}^2$ . Son $$ (a, b) = (a, b(a)) = \left(a, (1/2) \pm\sqrt{(1/\sqrt{2})^2 - (a - 1/2)^2}\right) $$ para $a \in [1/2 - 1/\sqrt{2}, 1/2 + 1/\sqrt{2}] = [a_-, a_+]$ .

Soluciones racionales:

Entre todas esas infinitas soluciones reales $(a, b)$ esperamos infinitas soluciones racionales, pero mi topología es demasiado mala para dar un buen argumento aquí. Si insertamos soluciones racionales arbitrarias $a$ no todos $b = b(a)$ son racionales.

Intenté encontrar todos los racionales $a$ para lo cual $b = b(a)$ es racional, pero se topó con un muro. Sin embargo un subconjunto infinito de tales racionales $a$ sigue siendo infinito, así que tratamos de elegir uno fácil.

Un subconjunto racional infinito de soluciones:

El subconjunto que se me ocurrió consiste en aquellos $a$ que tienen la forma $$ a_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} < a_+ \quad (n \in \mathbb{N}) $$ que da \begin{align} b_n &= \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{4n^2}} \\ &= \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{2n^2 - 1}}{2n} \\ &= \frac{n \pm \sqrt{2n^2 - 1}}{2n} \end{align}

Entonces $b_n$ es racional, si $$ 2n^2 -1 = m^2 $$ para algunos $m \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$ .

Podemos reescribirlo como $$ m^2 - 2 n^2 = -1 \quad (**) $$ que es una ecuación diofantina relacionada con la ecuación de Pell con constante $D = 2$ , véase ecuación Pell negativa .

Solución de la ecuación negativa de Pell:

Una solución para $(**)$ es $m = 1$ y $n = 1$ a partir de la cual podemos generar infinitas soluciones más:

Para impar $k \in \mathbb{N}$ que tenemos: $$ -1 = (1^2 - 2\cdot 1^2)^k = (m^2 - 2n^2) \Rightarrow \\ -1 = (1 + \sqrt{2})^k (1-\sqrt{2})^k = (m + \sqrt{2} n)(m - \sqrt{2} n) $$ que debido a $$ (1 + \sqrt{2})^k = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} 1^i (\sqrt{2})^{n-i} = c_1 \cdot 1 + c_2 \sqrt{2} \quad (c_1, c_2 \in \mathbb{N}) \\ (1 - \sqrt{2})^k = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} 1^i (-\sqrt{2})^{n-i} = d_1 \cdot 1 - d_2 \sqrt{2} \quad (d_1, d_2 \in \mathbb{N}) $$ da $$ m + \sqrt{2} n = (1 + \sqrt{2})^k \\ m - \sqrt{2} n = (1 - \sqrt{2})^k \\ $$ y $$ m = \frac{(1 + \sqrt{2})^k + (1 - \sqrt{2})^k}{2} \\ n = \frac{(1 + \sqrt{2})^k - (1 - \sqrt{2})^k}{2 \sqrt{2}} $$

He aquí las diez primeras soluciones:

k = 1,  m = 1,       n = 1
k = 3,  m = 7,       n = 5
k = 5,  m = 41,      n = 29
k = 7,  m = 239,     n = 169
k = 9,  m = 1393,    n = 985
k = 11, m = 8119,    n = 5741
k = 13, m = 47321,   n = 33461
k = 15, m = 275807,  n = 195025
k = 17, m = 1607521, n = 1136689
k = 19, m = 9369319, n = 6625109

Introducir las soluciones Pell en la solución circular:

Tenemos \begin{align} a_k &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{(1 + \sqrt{2})^k - (1 - \sqrt{2})^k} \in \mathbb{Q} \end{align} y \begin{align} b_k &= \frac{1}{2} \pm \frac{m}{2n} \\ &= \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{(1 + \sqrt{2})^k + (1 - \sqrt{2})^k} {(1 + \sqrt{2})^k - (1 - \sqrt{2})^k} \in \mathbb{Q} \end{align} para cualquier impar $k \in \mathbb{N}$ .

He aquí una visualización:

( Versión grande )

Se muestran las soluciones reales (círculo azul) y algunas de las soluciones racionales $Q_k^{(+)} = (a_k, b_k^{(+)})$ (puntos verdes), $Q_k^{(-)} = (a_k, b_k^{(-)})$ (puntos rojos) para $k \in \{ 1,3,5 \}$ . Los demás se amontonan demasiado para ser distinguibles en la trama.