En este entrada del blog encontré esta foto:
Hay otras fotos similares:
y
¿El agua forma realmente una espiral de proporción dorada en estos casos? ¿O la foto es sólo un ejemplo provocativo, sin fundamentos físicos para afirmar que la espiral es dorada?
En primer lugar, un Espiral de Fibonacci y un espiral dorada no son exactamente lo mismo, aunque se acercan bastante. En esta imagen de Wikipedia, la curva verde es una espiral de Fibonacci, y la curva roja una espiral dorada, con zonas superpuestas en amarillo:
Están lo suficientemente cerca como para que, a efectos de su pregunta, podamos considerarlos iguales. En cualquier caso, la imagen proporcionada no se acerca a ninguna de las dos. Considera algunas propiedades básicas de la espiral dorada, y comprueba si se cumplen en la imagen:
1) cada sección es un cuadrado
2) el tamaño de cada cuadrado está en la proporción áurea
3) la espiral es tangente al cuadrado en cada esquina
Lo que sí podemos decir es que se trata de una imagen muy atractiva de una especie de espiral.
También es destacable que casi cualquier curva en forma de espiral puede encajar en algún tipo de subdivisión recursiva de rectángulos, siempre y cuando no se tenga demasiado cuidado con las reglas y no se divida demasiadas veces. Por ejemplo, tomemos esta espiral completamente arbitraria que acabo de dibujar con el puño:
Fíjate en que funciona durante unos tres rectángulos y luego se confunde.
La espiral de Fibonacci es una aproximación (hecha de cuartos de círculo) de la espiral áurea. Sin embargo, a efectos prácticos (para esta pregunta), pueden considerarse iguales, lo que no cambia el sentido de la pregunta.
@VividD sí, me pareció que la primera foto lo ilustraba con bastante claridad. Tienes alguna sugerencia de cómo se podría mejorar?
No, @Phil , tu primera foto es bastante buena e ilustrativa. Tal vez sólo hay que hacerla más grande. En mi comentario anterior, sólo quería destacar que una espiral es una aproximación de otra...
No, esto no es una espiral de proporción dorada. Su pariente más cercano es la Espiral de Arquímedes cuya ecuación fundamental es $$r=a+b\,\theta.$$ Esta es la espiral trazada por el agua arrojada por un horizontal aspersor al girar: como su velocidad horizontal es constante, el radio $r(t)$ de una gota determinada en el momento $t$ aumenta linealmente con $t$ mientras que el ángulo en el que se propaga es la dirección del aspersor cuando se disparó, que también aumenta linealmente con $t$ por lo que existe una relación lineal entre $r$ y $\theta$ .
Crédito de la imagen: Anton Croos . No puedo encontrar una foto tomada desde arriba del aspersor - aparentemente la gente es más cuidadosa con sus cámaras de lo que uno piensa.
En el caso de tu imagen, existe la acción adicional de la gravedad para desviar las gotas de lluvia, por lo que la espiral no será perfecta, pero el principio es el mismo. Es importante tener en cuenta que las espirales de Fibonacci y las doradas funcionan con un principio diferente y son muy difíciles de mantener durante varias vueltas, ya que el radio crece exponencialmente. Esto es fácil de hacer con, por ejemplo, un molusco que come más a medida que crece, pero es difícil de lograr con fenómenos puramente cinemáticos.
En cambio, los fenómenos cinemáticos producen más o menos habitualmente espirales arquimédicas o similares. Mi favorita es ésta, producida por ondas de choque que se propagan a velocidad constante a través de una nebulosa planetaria, y producida por el gas emitido por una de las estrellas de una pareja binaria que orbita estrechamente:
Editar:
Esa imagen tiene ahora un competidor muy cercano, y no he podido resistirme a publicarla aquí. Esta es más o menos igual: se produjo por la salida de gases de una etapa de cohete a medio gastar de un ICBM ruso que giraba mientras se movía.
Fuente de la imagen aquí ; explicación en el blog Bad Astronomy de Phil Plait aquí .
La respuesta es NO . (la explicación se basa en el comentario de Antonio)
Cualquier espiral de proporción áurea es tangente a los rectángulos en los vértices:
Este no es el caso de la espiral creada por el agua en esta imagen. De hecho, si se intenta dibujar rectángulos y la correspondiente espiral de proporción áurea, nunca puede estar en el lugar del trazado del agua. Hay otras discrepancias, pero ésta es la más fácil de detectar y explicar.
Tal vez quieras ampliar y explicar qué características de la imagen demuestran que esto es erróneo.
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¿Sabe cuál es el objeto de su interés? Si no es así, busca una definición en la web. Una vez que lo entiendas, no habrá ningún obstáculo para que tomes la foto y la pruebes tú mismo.
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Nunca he oído hablar de la espiral de Fibonacci. Si te refieres a la espiral dorada, he intentado copiar la imagen de la espiral dorada de la wikipedia en esta imagen. Me parece que, a partir del segundo cuarto, no es una espiral dorada: i.imgur.com/jfWD7V2.png
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Nada de lo que se pueda medir se ajustará perfectamente a una curva matemática como la Espiral de Oro. La pregunta debería dividirse en dos partes, una matemática ("¿Se aproxima bien la espiral áurea a la curva formada por el arco de agua?"), y otra física ("¿Cómo puede explicarse la forma de este arco de agua mediante leyes físicas?").
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Una cuestión de interés para las Matemáticas.SX: ¿Está sobrevalorada la proporción áurea?
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Por cierto, en el mundo del diseño gráfico y de la web hoy en día, a todo tipo de personas les gusta afirmar que la proporción áurea es una especie de verdad universal, cuando a) rara vez lo es y b) realmente tiene poco o nada que ver con los principios del diseño gráfico en general. Como tal, no es más que forraje para blogueros de diseño realmente perezosos.
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SMBC pertinente .