Deje $x>0$, muestran que $$x^{\sqrt{3}}+x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}+1\ge 3\left(\dfrac{1+x}{2}\right)^{\sqrt{3}}$$
consideramos $$f(x)=2^{\sqrt{3}}(x^{\sqrt{3}}+x^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}+1)- 3(1+x)^{\sqrt{3}}$$ el uso de la computadora en el hecho de $f(x)\ge 0,x>0$,ver la Trama tenemos $$f'(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\left(2^{\sqrt{3}}x^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1}\a la izquierda( 2x^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}+1\right)-6(x+1)^{\sqrt{3}-1}\right)$$ para este índice los números irracionales,
qué enfoques qué piensa usted, yo podría tomar para resolver el siguiente paso?
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Circonflexe
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Deje $x = 2z+1$, de modo que $\frac{1+x}{2} = 1+z$. También he puesto $p=\sqrt{3}/2$ para los productos básicos. A continuación, la desigualdad se convierte en $$ (1+2z)^{2p} + (1+2z)^p + 1 - 3 (1+z)^{2p} \geq 0.$$
El razonamiento por debajo de este punto es falso, puesto que $\binom{x}{n}$ $x$ no es un entero y $n > x$, es negativo. En realidad, incluso en el tercer coeficiente de potencia de la expansión de la serie es $(12 \sqrt{3}-21)/2$, que es negativo. Dejo esto como el rastro de un intento fallido...
La expansión como la potencia de la serie de $z$, esto se convierte en $$ \sum \left((2^n-3)\binom{2p}{n}+2^n \binom{p}{n}\right) z^n \geq 0. $$ (Excepto el coeficiente constante, que es cero). Así que podría mostrar el resultado, al menos para $0 \leq z < 1$ (este es el radio de convergencia) si hemos sido capaces de demostrar que, para $n \geq 1$, $$ (2^n-3) \binom{2p}{n} + 2^n \binom{p}{n} \geq 0, \quad p = \sqrt{3}/2.$$ Para $n \geq 2$ esto es obvio ya que $2^n \geq 3$. Podemos comprobar manualmente que esto también es cierto para $n = 1$: $$ (2^1-3)\binom{2p}{1} + 2^1 \binom{p}{1} = -\sqrt{3}+2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.$$
Esto demuestra el resultado de $z \in [0, 1[$ y, por tanto,$x \in [1,3[$. Queda por mostrar :
en el caso de que $x \geq 3$: esto debería ser más fácil, ya que ambas funciones están más separados en esta región. (La parte más difícil fue la osculating punto en $x=1$).
en el caso de que $0 < x < 1$. Sin embargo, ambos lados son bastante simétrica con respecto a $x \mapsto 1/x$, por lo que espero que podemos deducir fácilmente que en el caso $x > 1$.
en primer lugar, nos encontramos con un punto especial: $\dfrac{1}{3}> \left(\dfrac{1+x}{2}\right)^{\sqrt{3}} \implies x<2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{\sqrt{3}}}-1=0.0606 \implies x<0.06, $ la desigualdad es siempre cierto.
ambos lado de la toma de registro, tenemos: $\ln{\dfrac{x^{\sqrt{3}}+x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}+1}{3}}\ge \ln{\left(\dfrac{1+x}{2}\right)^{\sqrt{3}}},f(x)=\ln{\dfrac{x^{\sqrt{3}}+x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}+1}{3}}-\ln{\left(\dfrac{1+x}{2}\right)^{\sqrt{3}}}$
ahora tenemos que demostrar $f'(x)>0$ al $x>1$ $f'(x)<0$ al $1>x>0.06$
$f'(x)=\dfrac{\sqrt{3}(2x^{\sqrt{3}}+x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}(1-x)-2x)}{(x^{\sqrt{3}}(2x^2+2x)+x^{(\sqrt{3}/2)}(2x^2+2x)+2x^2+2x) }$
$g(x)=2x^{\sqrt{3}}+x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}(1-x)-2x$
para $x>1$, $g(x)>0 \iff x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\dfrac{x}{x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}>\dfrac{x-1}{2} \cap \dfrac{x}{x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}<x^{\frac{\sqrt{3}}{8}}\iff x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}-x^{\frac{\sqrt{3}}{8}}>\dfrac{x-1}{2}$
para $0.06<x<1$,demuestran $g''>0$, lo que significa $g(x)$ obtendrá max en $g(1)$ o $g(.06)$, si ambos terminan $\le 0 \implies g(x) \le 0$
No voy a ir a los detalles, porque esto no es tan difícil.
Edit: una más recta manera de probar la $g(x)<0 \iff x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\dfrac{x}{x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}<\dfrac{x-1}{2} $ es:
LHS$=h(x)=x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\dfrac{x}{x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}},h''(x)=x^{-2}(\dfrac{3}{2}-\sqrt{3})(x^{\frac{\sqrt{3}}{2}}-x^{1-\frac{\sqrt{3}}{2}})>0 \cap (x<1) \implies h(x) <y=\dfrac{h(1)-h(0.06)}{1-.06}(x-1)+h(1)=0.562(x-1)<0.5(x-1)$
el truco aquí es al $x$ es lo suficientemente pequeño, $g(x)>0$, es por eso que excluir a los pequeños $x$ al inicio.
