Algebraicamente, ¿Qué $\Bbb R$ nosotros?

Question

En términos de las operaciones algebraicas básicas -- además, la negación, multiplicación, división y exponenciación -- ¿hay alguna ganancia en movimiento de$\Bbb Q$$\Bbb R$?

Decir que empezar con $\Bbb N$: $\Bbb N$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación. Pero luego decidimos que nos gustaría un sistema de numeración que es cerrado bajo la negación, así que construimos $\Bbb Z$. Gran. Pero luego decidimos que nos gustaría extender este sistema de numeración más de ser cerrado bajo la división y así construimos $\Bbb Q$. El siguiente paso es el cierre bajo exponenciación - pero cuando creamos que el sistema de numeración, no conseguimos $\Bbb R$, obtenemos un subconjunto de a$\Bbb C$, lo que voy a llamar a $\Bbb Q_{\exp}$.

Ahora claramente cuando se construye $\Bbb R$ $\Bbb Q$ hacemos aumento de la integridad, pero nuestra ganancia es entonces analítica, no necesariamente algebraicas. De ganar cualquier algebraicas ventaja en la construcción de $\Bbb R$ $\Bbb Q$ similar a lo que tenemos en cada una de las otras construcciones que he mencionado?

Answer 1

Por ejemplo, podemos llegar a resolver todas las ecuaciones de la forma$ax^n=b$$a,b \in \mathbb N$.

También podemos resolver todas las ecuaciones polinómicas de grado impar, o al menos encontrar una solución.

De manera más general, podemos llegar a resolver ecuaciones, incluso trascendental, mediante la interseccion método. Uno sólo necesita un intervalo donde la función toma valores de distinto signo en los extremos. Todo esto es muy constructivo, como usted puede encontrar el signo del valor de una función.

Por otro lado, se puede argumentar que la interseccion método también funciona en $\mathbb Q$, y ofrece cada vez más pequeños intervalos que contienen una raíz.

Answer 2

Algebraicamente hablando, lo que la ganancia puede ser adquirida en una contables de campo. Tanto en $\Bbb R$ $\Bbb C$ son innumerables. Para ver esto, basta con elegir cualquier operación, como exponenciación, y sólo agrandar $\Bbb Q$ al sumar todos los números complejos que puede obtener en el último paso. Después de terminar todos los finitely indexado pasos, usted tiene un campo cerrado bajo la exponenciación.

Así que, en cierto sentido, ellos no son el cierre de $\Bbb Q$ bajo cualquier razonable operación algebraica.

Pero $\Bbb R$ es uno de los objetivos fundamentales de la matemática moderna, por lo que seguimos investigando, y construir un montón de matemáticas a su alrededor. En algunas partes de las matemáticas que nos preocupa más algebraicamente cerrado campos, por lo que nos trasladamos a $\Bbb C$, que es el cierre de $\Bbb R$.

No todo es acerca de las operaciones algebraicas. Análisis y topología tiene mucho más tarde en la de las matemáticas, especialmente cuando se intenta domesticar a los objetos muy grandes.

Answer 3

Yo pienso que la motivación para $\mathbb{R}$ no es algebraica, sino que corresponde a nuestra intuición geométrica sobre la que los números son posibles. También se fundó en un momento en que vemos el universo como un espacio continuo.

Answer 4

Como Asaf mencionado, usted no puede obtener el $\mathbb{R}$ como la culminación de $\mathbb{Q}$ en estas operaciones. Sin embargo, todavía hay algebraicas cosas que decir acerca de $\mathbb{R}$.

Por ejemplo, cada polinomio irreducible sobre $\mathbb{R}$ tiene grado menor o igual a dos, que es trivial comprobar desde $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, contiene $\mathbb{R}$$[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$.

Esto implica, por ejemplo, que el $x^4+1$ puede ser un factor más de $\mathbb{R}$. Y la factorización es $(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$.