¿Qué significa dividir un número complejo por otro número complejo?

Question

Supongamos que sí: $w=2+3i$ y $x=1+2i$ . ¿Qué significa realmente dividir $w$ por $x$ ?

EDIT: Siento no haber contado con precisión mi pregunta. (¡Lo que todos me dijeron resultó ser hechos ya conocidos!) Intentaba preguntar la intuición geométrica detrás de la división de los números complejos.

Answer 1

La multiplicación de los números complejos se entiende mejor si se olvida la analogía del "vector cartesiano en el plano complejo": $$ z = a + b i \quad z \in \mathbb{C}, a, b \in \mathbb{R} $$ Y en su lugar piensa en coordenadas polares: $$z = r \angle \theta = r e^{i \theta} \quad z \in \mathbb{C}, r \in \mathbb{R}^+, \theta \in [0, 2 \pi) $$ En el que $r$ es la magnitud, $\theta$ es el ángulo.

Al multiplicar es fácil: $$ z w = (r_z r_w) \angle (\theta _z + \theta _w) $$ Se suman los ángulos y se multiplican las magnitudes.

Al dividir se hace lo que es natural: $$ \frac z w = \left(\! \frac{r_z}{r_w} \!\right) \angle (\theta _z - \theta _w) $$ Dividir significa encontrar la diferencia de ángulos y el factor de magnitud.

Answer 2

Cuando se divide $a$ por $b$ te estás preguntando "¿Qué debo multiplicar? $b$ con el fin de obtener $a$ ?".

La multiplicación de dos números complejos multiplica sus magnitudes y suma sus fases:

Así que cuando se divide un complejo $a$ por un complejo $b$ que estás preguntando: "¿Cuánto necesito para escalar $b$ y girar $b$ para conseguir $a$ ? Por favor, dame un número complejo con una magnitud equivalente a lo que debo escalar y una fase equivalente a lo que debo rotar".

Ejemplo

Considere $\frac{1 + i}{1 - i}$ . ¿Cuánto hay que escalar y rotar? $1-i$ para que sea igual que $1+i$ ?

Bien, cuando se grafica en el plano complejo se puede ver que $1-i$ tiene una rotación de 45 grados en el sentido de las agujas del reloj y una magnitud de $\sqrt{2}$ . $1+i$ por otro lado, tiene un grado de 45 contador -de rotación en el sentido de las agujas del reloj y la misma magnitud de $\sqrt{2}$ .

Como las magnitudes son las mismas, no necesitamos ninguna escala. La magnitud de nuestro resultado será 1.

Para girar de 45 grados en el sentido de las agujas del reloj a 45 grados en sentido contrario, debemos girar 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj. Así, nuestro resultado tendrá una fase de 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj (que es hacia arriba a lo largo del eje imaginario Y).

Mueve una distancia de 1 hacia arriba en el eje imaginario Y y obtienes la respuesta... $\frac{1 + i}{1 - i} = i$ . Podemos confirmarlo haciendo la multiplicación: $(1-i) \cdot i = i+1$ .

Answer 3

Significa encontrar otro número complejo $y$ , de tal manera que $xy=w$ . (Al igual que ocurre con los números reales).

Answer 4

Dado que la multiplicación puede visualizarse como una rotación en el plano complejo, puede ser útil pensar en la división como una forma de multiplicación: $$\frac{2+3i}{1+2i} = \frac{2+3i}{1+2i}\cdot \frac{1-2i}{1-2i} = -\frac{1}{3}\cdot(2+3i)(1-2i)$$ Así que, en lugar de pensar en la división, puedes pensar en ella como una multiplicación por el conjugado.

Answer 5

Geométricamente, significa que las magnitudes se dividen y los ángulos se restan.

Es decir, imagina los números complejos trazados en forma polar.

es decir: si

$w = r_1 e ^ {i \theta_1 } $

$x = r_2 e ^ {i \theta_2 } $

entonces

$w/x = (r_1 / r_2)e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$