Estudio de la convergencia de una secuencia con la repetición de los radicales

Question

Considere la secuencia $$ a_n = \sqrt {1!\sqrt {2!\cdots\sqrt {n!} } }, \quad n\in\mathbb N. $$ ¿Esta secuencia converge?

Claramente, $\{a_n\}_{n\in\mathbb N}$ es monótonamente creciente.

Por lo tanto, hay dos posibilidades:

La secuencia continúa hasta el infinito, o es limitado y por lo tanto, converge a un límite finito.

Cual de los dos tiene?

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align} \log a_n&=\log \sqrt{1!\sqrt{2!\cdots\sqrt{n!}}}=\frac{1}{2}\log 1! +\frac{1}{4}\log 2!+\cdots+\frac{1}{2^n}\log n! \\ &=\sum_{k=1}^n \frac{\log (k!)}{2^k}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}\sum_{j=1}^k\log j= \sum_{k=1}^n \log k \Big(\sum_{j=k}^n \frac{1}{2^j}\Big). \end{align} Por lo tanto, la secuencia de $\log a_n$, que es creciente, converge a $$ \log a_n=\sum_{k=1}^n \log k \Big(\sum_{j=k}^n \frac{1}{2^j}\Big)\longrightarrow\sum_{k=1}^\infty\frac{\log k}{2^{k-1}}=b<\infty. $$ La convergencia puede ser establecida usando por ejemplo la prueba de razón.

Así $$ a_n\a \mathrm{e}^b=\exp\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{\log k}{2^{k-1}}\right)=\prod_{k=1}^\infty k^{2^{k+1}}. $$

Nota. Me pregunto si $\sum_{k=1}^\infty\frac{\log k}{2^{k-1}}$ puede ser expresada en términos de algunas de las constantes.