Hace un límite que tiene el valor de infinito existe o no existe?
He llegado recientemente a través de algunas fuentes que dicen que si el valor de un límite es infinito, luego de que el límite no existe. Esto contradice lo que mi cálculo de los maestros y profesores me enseñaron sin embargo, que un límite no existe, si la mano derecha del límite y de la mano izquierda de límite son diferentes.
Por lo que uno es?
Obviamente depende de la definición de "existe". Algunos autores explícitamente trabajo a lo largo de la extendida línea real con $\pm\infty$ contigua, de modo que tales límites infinitos hacer explícita de "existir" como valores de primera clase. Pero no hay consenso. Hay que prestar atención a que el autor definiciones y convenciones.
Tal vez vale la pena mencionar, aunque este caso es más bien trivial - que los puntos adyacentes en el infinito es un caso especial de las diversas construcciones que intento de simplificar las cuestiones por algún tipo existencial de cierre. A continuación añado un extracto de un viejo 1996 post donde doy un poco más de discusión:
Este hilo se originó en una consulta como si el infinito, o 1/0 podría ser admitido como un "valor", y de pronto cayó en la discusión de la esfera de Riemann y otros topológica de las manifestaciones de el infinito a través de compactification. A continuación señalo un par de maravilloso referencias sobre estos temas; además me gustaría traiga a su atención una perspectiva mucho más amplia sobre estos temas, es decir, que existencial de cierre como el estudiado en el modelo de la teoría.
Hay una hermosa exposición de los puntos en el infinito, proyectiva cierre, compactifications, modificaciones, etc. en [FM][1] Capítulo 7, Los puntos en el Infinito, por H. Behnke y H. Grauert. Este es el volumen III en la excelente "Fundamentos de Matemáticas" de la serie, que merece estar en la biblioteca de cada ciernes matemático.
Una más profunda apreciación de la metodología detrás de estas construcciones puede ser mediante el estudio de ellos a partir de un modelo de la teoría de la perspectiva, en en particular desde el punto de vista existencial, el cierre y la modelo la finalización. Kenneth Manders ha escrito una serie de pensamiento provocando papeles [2],[3] a partir de esta perspectiva. Cierro con un extracto de la introducción a la [2]:
"La sistemática de la contigüidad de las raíces o soluciones simples condiciones, como en la formación de los números complejos colindando imaginarios, o en la contigüidad de los puntos "en el infinito", en el tradicional la geometría, pueden ser analizados como existencial de cierre y modelo la finalización. "Existencial cierre' se refiere a una clase de procesos que intentar rematar un dominio y simplificar su teoría por contiguo elementos-más bien, se refiere a la formal relación que se obtiene en este proceso. Modelo de 'terminación' es uno de los términos empleados cuando el proceso tiene éxito. El la formación de los números complejos, y el movimiento de los afín a geometría proyectiva, son éxitos de este tipo. Así, la teoría de existencial de cierre proporciona una base teórica de Hilbert "método de elementos ideales." Yo ahora esbozar la teoría existencial de cierre, para llevar a cabo el cuándo, el cómo, y en qué sentido existencial de cierre da conceptual de la simplificación."
[FM] Fundamentos de las matemáticas. Vol. III. Análisis.
Editado por H. Behnke, F. Bachmann, K. Fladt y W. Suss.
Traducido de la segunda edición alemana por S. H. Gould.
Reimpresión de la edición de 1974. MIT Press,
Cambridge, Mass.-Londres, 1983. xiii+541 pp. ISBN: 0-262-52095-8 00A05
[2] Manders, Kenneth
Extensión de dominio y la filosofía de la matemática.
J. Muerte. 86 (1989), no. 10, 553--562.
http://www.jstor.org/stable/2026666
[3] Manders, Kenneth L.
La lógica y relaciones conceptuales en matemáticas.
La lógica coloquio '85 (Orsay, 1985), 193--211,
Stud. Lógica Que Se Encuentra. Math., 122,
North-Holland, Amsterdam-Nueva York, 1987.
http://dx.doi.org/10.1016/S0049-237X(09)70554-3
No hay ninguna ambigüedad acerca de los límites infinitos. Por ejemplo, cuando se define que una secuencia o los números reales $(x_n)$ "tiende a infinito", $(x_n) \longrightarrow +\infty$, acabamos de decir que, para cada número real $N$ hay algo de $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que, para todos los $n\geq n_0$,$x_n > N$. Es decir, la secuencia de $(x_n)$ crece indifinitely. No hay ninguna implicación de que $+\infty$ "existe" o no, ni ningún problema con el hecho de que, ciertamente, $+\infty$ no es un número real. De hecho, no hay ninguna $\infty$ en el lado derecho de la definición, pero sólo los números reales. Y símbolos en el lado izquierdo de una definición sólo significa que usted quiere que ellos significan, de acuerdo con lo que pones en el lado derecho.
El uso de la lengua en mi clase de cálculo fue que se trataba de un inadecuado límite. Así que, estrictamente hablando, no hay límite en el sentido correcto.
El criterio con la mano derecha de los límites y de la mano izquierda de los límites de las obras en los puntos que realmente pertenecen a la línea real (y, a continuación, primero de todo en ambos límites laterales tienen que existir por sí mismos).
Mientras yo voy a ceder a otras respuestas (por ejemplo, Bill Dubuque s) que en el sentido más general de "depende" es la respuesta correcta, puede ser vale la pena destacar que en el contexto de la AP de Cálculo y a través de numerosos común AP Cálculo de los textos (tanto en el AB y BC), un límite existe si y sólo si tiene un valor real, por lo que decir que $\underset{x\to c}\lim f(c)=\infty$ o $\underset{x\to c}\lim f(c)=-\infty$ es decir que el límite de $x$ va a $c$ $f(x)$ no existe y, simultáneamente, dar más información acerca de cómo el límite no existe.
Depende de lo que usted está trabajando. Por ejemplo, una definición de la derivada de una función que el límite: $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ existe y es finito. Por otro lado, si usted está hablando sobre el límite de una secuencia ${ x_n }$, entonces usted puede desear para distinguir entre los casos cuando el límite es infinito, o no existe, lo que significa que, como usted dijo, que toma dos subsecuencias se obtienen diferentes valores para el límite -en este caso se dice que la secuencia de oscila-.
Definiciones, por supuesto, resolver un montón de problemas, se definen en $\mathbb{R}$ $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$ de la siguiente manera: $\forall N >0, \; \exists M >0: \; x > M \Rightarrow f(x) > N$, entonces usted realmente no tiene que llamar en la ampliación del número de línea.
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