Constante gravitatoria en la gravedad newtoniana frente a la relatividad general

Question

A mi entender, la constante gravitacional $G$ es una constante de proporcionalidad utilizada por Newton en su ley de gravitación universal (que se basaba en las leyes de Kepler), concretamente en la ecuación $F = \frac{G\cdot M\cdot m}{r^2}$ . Más tarde, Einstein propuso una teoría diferente para la gravedad (basada en el principio de equivalencia), la relatividad general, que concluía que la ley de Newton era simplemente una aproximación (bastante decente) a una realidad más compleja. Desde el punto de vista matemático, la teoría de Einstein era completamente diferente a la de Newton y se basaba en sus ecuaciones de campo, que también incluían $G$ en uno de sus términos.

Cómo es que dos teorías diferentes que partieron de postulados completamente distintos terminan teniendo esta misma constante $G$ con el mismo valor numérico aparecen en sus ecuaciones? ¿Qué es exactamente lo que $G$ ¿Representar?

Answer 1

Dado que en el límite de los campos gravitatorios débiles se debería recuperar la gravitación newtoniana, no es de extrañar que la constante $G$ aparece también en las ecuaciones de Einstein. Utilizando únicamente las herramientas de la geometría diferencial sólo podemos determinar las ecuaciones de campo de Einstein hasta una constante desconocida $\kappa$ : $$G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}.$$ Que esta ecuación se reduzca a la ecuación newtoniana del potencial $\phi$ , $$\nabla^2 \phi = 4\pi G\rho \tag{1}$$ con $\rho$ la densidad fija la constante $\kappa = \frac{8\pi G}{c^4}. \tag{2}$

En detalle, se asume una métrica casi plana, $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$ donde $\eta_{\mu\nu}$ es plana y $h_{\mu\nu}$ es pequeño. Entonces, al escribir la ecuación geodésica se encuentra que si $h_{00} = 2\phi/c^2$ se obtiene la segunda ley de Newton, $$\ddot{x}^i = -\partial^i \phi. \tag{3}$$ Utilizando (3) y tomando $T_{\mu\nu} = \rho u_\mu u_\nu$ para una velocidad de 4 $u_\mu$ con pequeños componentes espaciales, el $00$ de las ecuaciones de campo (2) es $$2\partial^i \partial_i \phi /c^2 = \kappa \rho c^2.$$ Para que esto coincida con (1), debemos tener $\kappa = \frac{8\pi G}{c^4}$ . (Los cálculos detallados aquí son, como suele ocurrir en la relatividad, bastante largos y aburridos, por lo que se omiten).