Demostrando $\sqrt{2}(a+b+c) \geq \sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2} + \sqrt{1+c^2}$

Question

He estado yendo a través de algunas de mis notas, cuando me encontré con la siguiente desigualdad para$a,b,c>0$$abc=1$: $$ \begin{equation*} \sqrt{2}(a+b+c) \geq \sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2} + \sqrt{1+c^2} \end{ecuación*} $$

Esto fue lo que intentó, pero que no arrojó ningún resultado alguno: $$ \begin{align} \sqrt{2}(a+b+c) &\geq \sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2} + \sqrt{1+c^2}\\ &\geq \sqrt{abc+a²} + \sqrt{abc+b²} + \sqrt{abc+c²}\\ &\geq \sqrt{a(bc+a)}+\sqrt{b(ac+b)}+\sqrt{c(ab+c)}\\ &\geq \sqrt{a\left(\frac{1}{a}+a\right)}+\sqrt{b\left(\frac{1}{b}+b\right)}+\sqrt{c\left(\frac{1}{c}+c\right)} \end{align} $$ Con esto tenemos entonces $$ \begin{align} \sqrt{1+a²} &= \sqrt{a\left(\frac{1}{a}+a\right)}\\ &=\sqrt{a\left(\frac{1}{a}+\frac{a²}{a}\right)}\\ &=\sqrt{a\left(\frac{1+a²}{a}\right)}\\ &=\sqrt{1+a²} \end{align} $$ Esto produce nada, pero la frustración y me pone de nuevo al paso 0

Answer 1

Sugerencia

$$\sqrt{2}x-\sqrt{x^2+1}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ln{x},x>0$$ es fácil probar por derivados.

así $$\sqrt{2}a-\sqrt{a^2+1}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ln{a}\tag{1}$$ $$\sqrt{2}b-\sqrt{b^2+1}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ln{b}\tag{2}$$ $$\sqrt{2}c-\sqrt{c^2+1}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ln{c}\tag{3}$$ $(1)+(2)+(3)$ $$\sqrt{2}(a+b+c)\ge\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}$$

Answer 2

aquí hay otro camino que no es el uso de derivados:

en primer lugar, necesitamos saber: $\sqrt{\dfrac{x+y+z}{3}} \ge \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3}$ (1)

para demostrarlo, hemos $\sqrt{\dfrac{x+y}{2}} \ge \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2} \implies \sqrt{\dfrac{x+y+z+t}{4}} \ge \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{t}}{4}$ deje $t= \dfrac{x+y+z}{3}$ tenemos (1)

cuadradas de ambos lados:

$2(a+b+c)^2 \ge 3+(a^2+b^2+c^2)+2\sum {\sqrt{1+a^2+b^2+a^2b^2}} \iff \sum a^2+4\sum ab -3 \ge 2\sum {\sqrt{1+a^2+b^2+a^2b^2}} \iff \sum a^2+2\sum ab -3 \ge 2\sqrt{3(3+2\sum a^2+\sum a^2b^2)} \iff (\sum a^2-3)^2+8(\sum a^2-3)(\sum ab)+16(\sum ab)^2 \ge 36+24\sum a^2+12 \sum a^2b^2 $

nota: $(\sum ab)^2-\sum a^2b^2=2abc(a+b+c)=2(a+b+c) \iff (\sum a^2-3)^2+8(\sum a^2)(\sum ab-3) +4((\sum ab)^2-6\sum ab+9)+24(a+b+c)-72 \ge 0$

$abc=1$, por lo que es trivial $a+b+c \ge 3, ab+bc+ac \ge 3$, por lo que la última es la verdadera.