La obtención de la $\frac{1}{2\pi}$ factor en la transformada de Fourier

Question

Este MathWorld página da esta definición de la transformada de Fourier de: $$F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i k x}dx.$$ But, I wish to speak in terms of linear frequency $\nu$ and time $t$ rather than in terms of wavenumber $k$ and position $x$, so I will use the substitutions $k \rightarrow \nu$ and $x \rightarrow t$ rewrite this as: $$F(\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i2\pi \nu t}dt \; \; \; \text{(eq. 1).}$$

Es esta sustitución válida, o no me pierda un factor?

Ahora, frecuencia angular $\omega$ y lineal de la frecuencia de $\nu$ están relacionados por $\omega = 2 \pi \nu$ por lo que se puede reescribir en términos de la frecuencia angular $\omega$: $$F({\omega\over2\pi}) = F(\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt \; \; \; \text{(eq. 2).}$$ However, my physics professor's distributed notes give this definition of the Fourier transform $F(\omega)$ of $f(t)$: $$F(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt \; \; \; \text{(eq. 3)}$$

¿Cómo puedo convertir la ecuación (2) a la ecuación (3), para obtener el $\frac{1}{2\pi}$ factor?

Answer 1

La respuesta es, como siempre, en la wikipedia. En su derivación, el factor que no vienen en la transformación directa, que se mostrará en la inversa. En su profesor, el factor que está en el directo de transformar no estará presente en el inverso. Mientras que los definen de coincidencia de cada uno de los otros, usted va a estar bien. También es bastante común para dividir la diferencia y tener un $1/\sqrt{2\pi}$ delante de cada uno.