Cómo probar esta matriz $\det (A)=\left(\frac{1}{\ln{(a_{i}+a_{j})}}\right)_{n\times n}\neq 0$

Question

Pregunta:

dejar $a_{i}>1,i=1,2,3,\cdots,n$ y tal $a_{i}\neq a_{j}$ para cualquier $i\neq j$

definir la matriz

$$A=\left(\dfrac{1}{\ln{(a_{i}+a_{j})}}\right)_{n\times n}$$

mostrar eso: $$\det(A)\neq 0$$

Mi intento: Conozco esta matriz $A$ es similar este determinante de Cauchy： http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_matrix

y

$$\det(A)=\begin{vmatrix} \dfrac{1}{\ln{(a_{1}+a_{1})}}&\dfrac{1}{\ln{(a_{1}+a_{2})}}&\cdots&\dfrac{1}{\ln{(a_{1}+a_{n})}}\\ \dfrac{1}{\ln{(a_{2}+a_{1})}}&\dfrac{1}{\ln{(a_{2}+a_{2})}}&\cdots&\dfrac{1}{\ln{(a_{2}+a_{n})}}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \dfrac{1}{\ln{(a_{n}+a_{1})}}&\dfrac{1}{\ln{(a_{n}+a_{2})}}&\cdots&\dfrac{1}{\ln{(a_{n}+a_{n})}} \end{vmatrix}$$

pero no puedo, gracias. Y este problema me lo pide mi amigo.

esto es lo que me pide es segundo problema .y creo que este problema es interesante.

Ahora este problema está arriba $21$ ¡. eso significa que este problema es difícil.Espero que alguien pueda resolverlo.Buena suerte!

Answer 1

Para cualquier $s > 0$ , dejemos que $A(s) \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ sea la matriz con entradas

$$A(s)_{ij} = \frac{1}{(a_i + a_j)^s}$$

Para cualquier valor no nulo $u \in \mathbb{R}^n$ con componentes $u_i, i = 1\ldots n$ tenemos

$$u^T\!A(s)\,u = \sum_{1\le i,j \le n} \frac{u_i u_j}{(a_i+a_j)^s} = \sum_{i\le i,j \le n} \frac{u_i u_j}{\Gamma(s)}\int_0^\infty t^{s-1} e^{-(a_i+a_j)t} dt\\ = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty t^{s-1} \left(\sum_{i=1}^n u_i e^{-a_i t} \right)^2 dt > 0 $$ porque $u_i$ no todo cero implica en función de $t$ , $\displaystyle \sum_{i=1}^n u_i e^{-a_i t}$ no es idéntico a cero $\color{blue}{^{[1]}}$ .

Aviso para $x > 1$ , $\frac{1}{\log x}$ puede expresarse como una integral convergente absoluta:

$$\frac{1}{\log x} = \int_0^{\infty} \frac{1}{x^s} ds$$

Como resultado, tenemos

$$u^T A u = \sum_{1 \le i, j \le n} \frac{u_i u_j}{\log (a_i+a_j)} = \sum_{1 \le i, j \le n } \int_0^\infty \frac{u_i u_j}{(a_i+a_j)^s} ds = \int_0^\infty u^T\!A(s)\,u\;ds > 0$$

Esto implica $A$ es definida positiva y, por tanto, invertible.

Notas

• $\color{blue}{[1]}$ Para justificar $\displaystyle f(t) = \sum_{i=1}^n u_i e^{-a_i t}$ no es idéntico a cero, tenemos que utilizar el hecho $a_i$ son todos distintos. Si $f(t)$ se desvanece en $t = 1, \ldots, n$ entonces podemos construir un Matriz de Vandermonde con entradas $e^{-a_i j}, 1 \le i, j \le n$ y utilizarlo para concluir todo $u_i = 0$ .