$(\mathbb{Q},+)$ no tiene máximo subgrupos

Question

Tengo un problema que no tengo idea.

Muestran que el grupo de $(\mathbb{Q},+)$ no tiene máximo subgrupos.

Answer 1

Supongamos $H$ es cualquier valor distinto de cero adecuada subgrupo de $\mathbb Q$ y deje $x \in \mathbb Q \setminus H$ $y \in H, y \neq 0$

Escribir $\dfrac {y}{x} = \dfrac {a}{b}$ con enteros $a,b$. A continuación,$a \neq 0$$\dfrac {x}{a} \notin H + \langle x \rangle$ : Supongamos $\dfrac {x}{a} = h + nx$ algunos $n \in \mathbb Z$$h \in H$. A continuación,$x = ah+anx = ah+nby \in H$, lo que contradice la hipótesis de $x$. Por lo tanto $H$ no es maximal.

Answer 2

Solucionado

Supongamos por contradicción que $H$ es un subgrupo maximal de a $\mathbb Q$.

Como para $r \neq 0$ la función de $f(x)=rx$ es un grupo automorphism de $\mathbb Q$, mediante la sustitución de $H$ $f(H)$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $1 \in H$.

Ahora, si $\frac{1}n \in H$ por cada $n > 1$ es fácil probar que $H =\mathbb Q$. Pick $n$ a ser el más pequeño $n$ tal que $\frac{1}{n} \notin H$.

A continuación,$H + < \frac{1}{n} > =\mathbb Q$.

Ahora, para cada entero positivo $l$ si $l=qn+r$ tenemos $\frac{l}{n}=q+\frac{r}{m}$$q \in H$.

De lo anterior se desprende que cada número racional puede escribirse en la forma $$r=h+\frac{k}{n} \, \mbox{ with } h \in H, 0 \leq k < n$$

Por lo tanto, $$\frac{1}{n^2}= h+\frac{k}{n} \, \mbox{ with } h \in H, 0 \leq k < n$$

Multiplicando ambos lados por $n$ tenemos $$\frac{1}{n}= nh+k \in H$$ como $nh \in H$$k \in h$.

Esta es una contradicción.

Answer 3

El grupo $\mathbb Q$ es un múltiplo de grupo. Hay hechos bien conocidos que dice $G$ es divisible entre si, y sólo si $G$ no tiene máximo subgrupos si y sólo si cada valor distinto de cero cociente de $G$ es infinito.