Demostrando que $ \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}{x}}{\sqrt{a^{2} {\cos^{2}}(x) + b^{2} {\sin^{2}}(x)}} = \frac{\pi}{2 \cdot \text{AGM}(a,b)} $.

Question

Sé Neumann solución de este famoso de la integral definida, que está totalmente basado en la sustitución, pero, ¿hay alguna solución mediante el análisis complejo? Suponiendo que $ a > b $, muestran que $$ \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}{x}}{\sqrt{a^{2} {\cos^{2}}(x) + b^{2} {\sin^{2}}(x)}} = \frac{\pi}{2 \cdot \text{AGM}(a,b)}, $$ donde $ \text{AGM}(a,b) $ es la aritmética-media geométrica de $ a $$ b $, que satisface la siguiente ecuación funcional: $$ \text{AGM}(a,b) = \text{AGM} \! \left( \frac{a + b}{2},\sqrt{b} \right). $$

Answer 1

Vamos $$I(a,b)=\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2\sin^2 x+b^2\cos^2 x}}=\int_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(a^2 t^2 + b^2(1-t^2))}}.\tag{1}$$ Obviamente $I(a,a)=\frac{\pi}{2a}$, por lo tanto, para demostrar nuestra identidad sólo tenemos que probar que: $$ I(a,b)=I\left(\sqrt{ab},\frac{a+b}{2}\right).\tag{2}$$ Mediante la sustitución de $b\tan x$$z$, tenemos: $$ I(a,b) = \int_{0}^{\infty}\frac{dz}{\sqrt{(z^2+a^2)(z^2+b^2)}}.\tag{3}$$ Por Lagrange de la identidad para la multiplicación de las sumas de dos cuadrados, $$ (z^2+a^2)(z^2+b^2) = (z^2-ab)^2+(a+b)^2 z^2, \tag{4} $$ por lo tanto, con la sustitución $z=\frac{1}{2}\left(u-\frac{ab}{u}\right)$, $(3)$ se convierte en $$ \int_{0}^{\infty}\frac{du}{\sqrt{\left(u^2+\frac{1}{4}(a+b)^2\right)(u^2+ab)}}=I\left(\sqrt{ab},\frac{a+b}{2}\right),$$ así que hemos terminado, ya $I(a,b)$ es una función continua con respecto a sus parámetros y la recorre en el mapa de $\varphi:(a,b)\to\left(\sqrt{ab},\frac{a+b}{2}\right)$ convergen hacia la $\left(\text{AGM}(a,b),\text{AGM}(a,b)\right)$ dando: $$ I(a,b)=\frac{\pi}{2\cdot\text{AGM}(a,b)} $$ como quería.

Answer 2

Esto no es una respuesta a la pregunta, pero es demasiado largo para un comentario.

Tan lejos como puedo recordar, se inicia con $$I=\int\frac{dx}{\sqrt{(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)}}=\sqrt{2}\int\frac{dx}{\sqrt{\left(a^2-b^2\right) \cos (2 x)+(a^2+b^2)}}$$ and the integration leads to an elliptic integral given by $$I=\frac 1a F\left(x\left|1-\frac{b^2}{a^2}\right.\right)=\frac 1b F\left(x\left|1-\frac{a^2}{b^2}\right.\right)$$ Using the bounds, the definite integral is then $$J=\int^{\pi/2}_{0}\frac{dx}{\sqrt{(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)}}=\frac 1a {K\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)}=\frac 1b {K\left(1-\frac{a^2}{b^2}\right)}$$ y supongo que Legendre relación funcional se utiliza a continuación para obtener el resultado.

Lo siento por no ser de más ayuda.