Generalización de la ecuación de la elipse a superficies de mayor dimensión

Question

Esta pregunta fue motivada por Definición de un elipsoide a partir de sus puntos focales .

Me gustaría evitar términos como elipsoide, así que utilizaré términos como elipse unidimensional (una elipse normal en el plano) y elipse bidimensional (un elipsoide en el espacio).

Una descripción para una elipse unidimensional en el $x_1x_2$ -El plano de la elipse captura la geometría de que para cualquier punto de la elipse, la suma de las distancias a los focos es constante: $$E_1=\left\{\bar{x}\,\left|\,\sum_{i=1,2}\|\bar{x}-\bar{f}_i\|=c\right.\right\}$$ donde $\bar{f_1}$ y $\bar{f}_2$ son los focos y $c$ es alguna constante. Se me ocurrió que el conjunto $\{\bar{f}_1,\bar{f}_2\}$ es una elipse de dimensión cero. Así que pensé en reformular la descripción anterior como $$E_1=\left\{\bar{x}\,\left|\,\int_{\textrm E_0}\|\bar{x}-\bar{e}\|\,de=c\right.\right\}$$ donde $E_0$ es la elipse de dimensión cero $\{\bar{f}_1,\bar{f}_2\}$ y cada punto de $E_0$ tiene la medida 1.

¿Qué se obtiene cuando se actualiza una dimensión? En palabras, ¿qué superficie es el conjunto de todos los puntos del espacio en los que, para cada uno de esos puntos, la distancia integrada entre ese punto y una elipse unidimensional es constante? Es decir, ¿qué superficie es $S$ en $\mathbb{R}^3$ donde $$S=\left\{\bar{x}\,\left|\,\int_{\textrm E_1}\|\bar{x}-\bar{e}\|\,de=c\right.\right\}$$ donde $E_1$ es una elipse unidimensional en $\mathbb{R}^3$ ? Las respuestas podrían ser ecuaciones implícitas en $x_1$ , $x_2$ y $x_3$ o algo más.

Al principio pensé que sería estupendo que esto diera una elipse bidimensional genérica, proporcionando una respuesta a la pregunta enlazada anteriormente, pero me he convencido de que no es así.

Answer 1

(Intenté publicar esto como comentario pero se estropeó la ecuación).

Incluso para un degenerado $E_1 = \{(x,0): -1\le x\le1\}$ la forma implícita de $E_2$ ya es bastante complicado. Mathematica me da, después de algunos masajes, $$\begin{align}&\int_{-1}^1 \sqrt{(x-t)^2 + y^2}\ \mathrm dt \\ &\qquad = (1-x)\sqrt{(1-x)^2+y^2}+(1+x)\sqrt{(1+x)^2+y^2} \\ &\qquad +\ y^2\log\left(\frac{\left(1-x+\sqrt{(1-x)^2+y^2}\right)\left(1+x+\sqrt{(1+x)^2+y^2}\right)}{y^2}\right)\end{align}$$ de los que quieres los conjuntos de niveles. Esto es para la restricción a la $xy$ -pero como en este caso hay simetría rotacional, se puede sustituir simplemente $y^2$ con $y^2+z^2$ para toda la superficie 3D.

Cuando $E_1$ es no degenerado y la longitud de arco de la elipse entra en juego, la ecuación probablemente será mucho peor.