Si $a,b$ son raíces de $x^2+3x+1=0$.El cálculo de $(\frac{a}{b+1})^2 +(\frac{b}{a+1})^2$

Question

Si $a,b$ son raíces de la ecuación de $x^2+3x+1=0$.Cómo calcular el $$\left(\frac{a}{b+1}\right)^2 +\left(\frac{b}{a+1}\right)^2$$

Answer 1

Sugerencia: $(a+1)^2 + a = 0$ $\frac{1}{(a+1)^2} = -\frac{1}{a}$

Answer 2

Debido a $x^2+3x+1=0$, $x^2=-3x-1$ también $x^2+2x+1=-x$$x=a,b$. Por lo tanto $$\left(\frac{a}{b+1}\right)^2=\frac{a^2}{(b+1)^2}=\frac{-3a-1}{-b}=\frac{3a+1}{b}$$ Por simetría, la expresión es $$\frac{3a+1}{b}+\frac{3b+1}{a}=\frac{3a^2+a}{ab}+\frac{3b^2+b}{ab}=\frac{3a^2+a+3b^2+b}{ab}=\frac{3(-3a-1)+a+3(-3b-1)+b}{ab}=\frac{-8(a+b)-6}{ab}$$ Por último, debido a que $a,b$ son raíces de $x^2+3x+1$, sabemos que $ab=1$$a+b=-3$. Conectando a nuestra expresión final da $$\frac{-8(-3)-6}{1}=18$$

Answer 3

Tomamos nota de que la expresión dada es simétrica función racional de las raíces del polinomio original, por lo que puede ser expresado en términos de los coeficientes del polinomio original. A continuación, utilizamos los datos básicos que sabemos acerca de la suma y el producto de las raíces, y el hecho de que tanto $a$ $b$ satisfacer el polinomio para lograr sucesivas simplificación de otra manera difícil de manejar términos. Aquí están algunas sugerencias para un camino a través de.

Tenga en cuenta que$a+b=-3$$ab=1$, de modo que $(a+1)(b+1)=ab+(a+b)+1=-3+2=-1$

Utilice esto para poner todo un denominador común y simplificar.

Tenga en cuenta también que $a^2(a+1)^2=a^2(a^2+2a+1)=a^2(a^2+3a+1-a)=-a^3$

También puede ser necesario el uso de $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

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Dado que la respuesta completa más cercana en espíritu a la presente ha sido eliminado, tenga en cuenta primero $(a^2+b^2) = (-3)^2-2=7$. A continuación, poner el deseado expresión común denominador $(a+1)^2(b+1)^2=1$ obtener:$$a^2(a+1)^2+b^2(b+1)^2=-a^3-b^3=3(a^2+b^2)+(a+b)=21-3=18$$ [véase el comentario de medio paso]

Answer 4

$$a+b=-3,ab=1$$ $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\implies a^2+b^2=7$$ $$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\implies a^3+b^3=-18$$ $$(a^2+b^2)^2=a^4+b^4+2(ab)^2\implies a^4+b^4=47$$

$${\left(\dfrac {a}{b+1}\right)}^2+{\left(\dfrac {b}{a+1}\right)}^2$$ $$\dfrac {a^2(a+1)^2+b^2(b+1)^2}{((b+1)(a+1))^2}$$ $$\dfrac {a^4+2a^3+a^2+b^4+2b^3+b^2}{(ab+a+b+1)^2}$$ $$\dfrac {a^4+b^4+2(a^3+b^3)+a^2+b^2}{(1-3+1)^2}$$ $${47+2(-18)+7}$$ $$18$$

Hay una alternativa, como en el comentario de @marca sugieren: $$\dfrac {a^4+2a^3+a^2+b^4+2b^3+b^2}{(ab+a+b+1)^2}$$ $${a^4+3a^3+a^2-a^3+b^4+3b^3+b^2-b^3}$$ $${a^2(a^2+3a+1)-a^3+b^2(b^2+3b+1)-b^3}$$ desde $a^2+3a+1=b^2+3b+10=0$ $$-a^3-b^3$$ $$18$$

Answer 5

SUGERENCIA:

Como $ab=1, \frac a{b+1}=\frac{a}{\frac1a+1}=\frac{a^2}{a+1}=y$(decir)

Por eso, $a^2=y(a+1)$

y, de nuevo, $a^2+3a+1=0\implies a^2=-3a-1$

Por eso, $ay+y=-3a-1\implies a=-\frac{y+1}{y+3} $

Como $a$ es la raíz de la eqaution $$\left(-\frac{y+1}{y+3} \right)^2+3\left(-\frac{y+1}{y+3} \right)+1=0$$

Simplemente se $y^2+4y-1=0$

El uso de Vieta de la Fórmula, la suma es $(-4)^2-2(-1)=18$