Qué material es bueno para el estudio extra

Question

Soy estudiante de matemáticas y las asignaturas que estoy cursando son demasiado fáciles (cálculo, álgebra lineal, matemáticas discretas, lógica).

Quiero convertirme en un matemático de éxito. Quiero saber qué material debo estudiar por mi cuenta. ¿Debería simplemente hacer todos los problemas extra del libro, o debería empezar a leer sobre resolución de problemas en general, o tal vez sobre un tema específico..

Answer 1

Me parece revelador que no enumere ningún curso de nivel intermedio entre los que ha cursado: especialmente, análisis real, topología o álgebra. Estos son los cursos que proporcionan la base teórica para todo estudio posterior de las matemáticas (y son, como en la respuesta de Roy Smith, arbitrariamente desafiantes: uno no puede ser demasiado bueno para ninguno de ellos).

¿No ha realizado estos cursos sólo porque está en el primer o segundo año de su programa de licenciatura, o por alguna otra razón? ¿Es demasiado tarde en el curso actual para que usted tome uno de estos cursos? Creo que valdría la pena intentarlo.

Como ocurre muchas veces cuando un estudiante universitario busca ayuda en las masas de internet, yo también me pregunto: ¿estás siendo asesorado adecuadamente? ¿Tienes un profesor en el departamento de matemáticas de tu institución con el que estés discutiendo estas cuestiones? Si no es así, debería encontrar uno de inmediato. Lo mejor que un profesor puede escuchar de un estudiante es: "No se me plantean los retos adecuados en mis clases y me gustaría aprender matemáticas más interesantes". Me resulta difícil imaginar que no te reciban con los brazos abiertos.

Añadido : Veo en tu perfil que eres estudiante de primer año en una universidad canadiense. Eso explica muchas cosas. La mayoría de los estudiantes universitarios norteamericanos no están preparados para el tipo de matemáticas teóricas que he descrito antes, pero algunos sí. Acomodar a ambos grupos es un serio reto curricular. Por ejemplo, tanto en la UGA como en Chicago hay un curso de cálculo con honores impartido por Spivak, y tanto en Chicago como en Harvard hay cursos de análisis muy exigentes para estudiantes de primer año excepcionalmente buenos. Pero para acceder a estos cursos hay que estar bien preparado e informado. Además, he enseñado en dos universidades canadienses, y tengo la impresión de que son un poco más estrictos en cuanto a seguir una secuencia fija de cursos que las universidades estadounidenses de calidad comparable. Uno de mis mejores amigos empezó la licenciatura en la UBC a los 15. Desde el principio fue muy bien en sus clases, pero tuvo que seguir muchos cursos de matemáticas (por ejemplo, ecuaciones diferenciales sin análisis real) que un estudiante tan prodigioso como él debería saltarse en una universidad estadounidense de primer nivel. De todos modos, llegó a lo bueno a la avanzada edad de 17 años, más o menos, y ahora es un matemático adulto de éxito. Así que ten en cuenta que esa es la cultura local hasta cierto punto. Pero mantengo mi consejo anterior: ponte en contacto con un

Answer 2

Además de la "resolución general de problemas" (secundo la recomendación de PEV del libro de Polya), mucho en la línea de esto pregunta anterior sobre qué hacer después de Cálculo Para empezar, te sugeriría que empezaras con Teoría de Números e Historia de las Matemáticas; puedes aprender mucho sobre ambas por tu cuenta. Sugeriría ceñirse a la teoría de números "elemental" para empezar por ese lado (es decir, no "Teoría algebraica de números" y no "Teoría analítica de números").

Si aún tienes ganas de más por tu cuenta, probablemente puedas hacer bastante con algo de topología básica de conjuntos de puntos, algo de teoría de grafos, o quizá incluso algo de cálculo avanzado/análisis introductorio.

Aunque los viejos problemas de la OMI o los problemas de Putnam podrían ser interesantes, yo mismo no iría necesariamente allí; aunque hay un montón de realmente bueno matemáticos que destacaron en alguna de ellas o en ambas, también hay muchos que no lo hicieron. Más bien sugeriría hojear el Revista de matemáticas (probablemente disponible en su Departamento); incluye una sección de problemas por si quiere probar suerte con ese tipo de cosas, pero también tendrá otros artículos, muchos de los cuales serán probablemente accesibles.

Answer 3

Lee libros más difíciles, como Cálculo de Courant, Spivak o Apostol, y Van der Waerden o M. Artin sobre álgebra y álgebra lineal. Si son demasiado fáciles, prueba con Cálculo de múltiples de Spivak o Cálculo de varias variables de Fleming, o Fundamentos del análisis moderno de Dieudonn y Álgebra básica I de Jacobson, o Álgebra abstracta de Chi Han Sah, o Curvas algebraicas de Fulton. Si son demasiado fáciles, pruebe con Topología algebraica, de Hatcher o Spanier, y Álgebra, de Lang, y Ecuaciones diferenciales ordinarias, de Arnol. O Geometría diferencial de Spivak, o Curvas algebraicas y superficies de Riemann de Rick Miranda, o Geometría algebraica básica de Shafarevich, o Conferencias sobre superficies de Riemann de Siegel, Disquisitiones de Gauss, ...........

Answer 4

He aquí algunos posibles recursos para la resolución de problemas:

• Estrategias de resolución de problemas por Arthur Engel
• Antiguos problemas de la OMI
• Cómo resolverlo por Polya

Este (MO post about how to go about studying undergraduate math) consejos parecen útiles.