Llamemos a los dígitos del número original h , t y o , para centenas, decenas y unidades. El efecto de restar o de hto es lo mismo que hacer las tres ecuaciones siguientes y sumar los resultados:
(100 * h) - ( h) = 99 * h
( 10 * t) - ( 10 * t) = 0
( o) - (100 * o) = -99 * o
Esto se simplifica fácilmente, primero a (99 * h) - (99 * o), y luego a (h - o) * 99. Porque h y o son de un solo dígito, y además sabemos que h > o (según el problema original, que decía que la cifra de las centenas debe ser mayor que la de las unidades), sabemos que h - o no puede ser menor que 1, ni mayor que 8.
Esto significa que en realidad sólo hay ocho valores posibles para el número de tres dígitos que tenemos después del primer paso, y se encuentran en la siguiente tabla de los múltiplos de tres dígitos de 99 (falseando un poco la primera entrada):
1 * 99 = 099
2 * 99 = 198
3 * 99 = 297
4 * 99 = 396
5 * 99 = 495
6 * 99 = 594
7 * 99 = 693
8 * 99 = 792
9 * 99 = 891
10 * 99 = 990
Cada vez que añadimos 99, se produce el efecto de restar 1 al lugar de las unidades y añadir 1 al lugar de las centenas (la otra cara de la moneda de cuando cambiábamos los dígitos entre los lugares de las unidades y las centenas, y el efecto era el mismo que el de sumar/restar múltiplos de 99). Por eso el dígito de las centenas sube y el de las unidades baja exactamente al mismo ritmo, y por eso el reverso de cada número de la tabla es también un número en la tabla. (Por muchos pasos que se den para subir de a a b se necesita exactamente la misma cantidad para bajar de b a a .)
Para cualquier número de la tabla, si es la nª entrada de la tabla leyendo hacia abajo, su contrapartida invertida es la nª entrada de la tabla leyendo arriba . Cuando se seleccionan pares bajo esa restricción, de una tabla donde cada entrada consecutiva es exactamente c mayor que el último por alguna constante, la suma de cada par será siempre la misma que la suma del primero y el último (pruébalo con una tabla en la que las entradas estén separadas por sólo 1, y verás por qué.) Así que, no importa qué múltiplo de 99 nos dé nuestra resta inicial, la adición de su contraparte invertida siempre nos dará una suma igual a (1 + 10) * 99 - es decir, 1089.
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math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10002.1-8.shtml y es.wikipedia.org/wiki/1089_%28number%29#In_magic y muchos más
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Tu tercer paso al principio parecía como si dijeras que debíamos restar el número $2$ de algo. Tal vez quieras reformularlo un poco.
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Me he dado cuenta de que $1089=33^2$ . ${}\qquad{}$
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Editado gracias a Michael
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Muchos de estos problemas, sorprendentes para los alumnos de 5º curso, son fáciles de verificar utilizando el álgebra... Quizá la próxima vez que uno de ellos te pregunte por qué funciona, diles eso. Tal vez les haga ilusión el álgebra (para variar).
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@Gedgar Me quedé absolutamente sorprendido el día que lo vi por primera vez y en una nota más ligera a veces me pregunto por qué el álgebra no se enseña mucho antes en la escuela; piensa en esto nos enseñan los números y las letras no se mezclan en la escuela primaria, pero luego nos dan questoins como $\square+4=10$ en $1^{st}$ grado y no puedo ver la diferencia con $x+4=10$ resolver para $x$
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Ver también La constante de Kaprekar .
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De la nota, del artículo de la Wiki: "Los números formados de forma análoga en otras bases, por ejemplo el octal 1067 o el hexadecimal 10EF, también tienen estas propiedades". Para hacerlo aún más "mágico", haz el mismo cálculo en otra base. Así aprenderán también a conocer las bases.
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@GEdgar: Si mi hija de 8º de primaria consigue superar la geometría odiando las matemáticas me sorprenderé un poco. Algo que es divertido (& desafiante) se ha transformado en una monotonía casi mecánica. Y no me hagas empezar con el 'Common Core' con el que mi hijo tiene el placer de lidiar.
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Eligiendo, por ejemplo, el 645 no funciona, aparentemente. La primera diferencia (1.) es 99. Creo que el primer número debe ser mayor en 2 que el último.