No se puede establecer que cada línea se encuentra con el balón

Question

¿Existe el juego de bolas $X=\{B_i\subset\mathbb{R^2};i\in I\}$, satisfing siguientes propiedades?(Nota de que la pelota haya un real positivo radio)

1. Deje que el conjunto de todas las líneas en el plano, a ser $L$. Para cada una de las $l \in L,\ l\cap B_i \ne \varnothing $ algunos $i\in I$.
2. $\{N_l=\text{the number of balls which the line} \ l \ \ \text{transversals}\mid l\in L\}$ está acotada.

(Esto no significa que el número de la bola de la línea de las transversales es finito. Esta declaración es más fuerte.)

Yo creo que no hay tal juego pero no puedo probar.

Mi intento se piensa que la línea en el plano como un punto de la esfera, pero no puedo ir más allá.

¿Alguien tiene alguna idea para probar o refutar?

Answer 1

Esto es sólo una corriente de pensamientos, por ahora. Supongamos que un conjunto de disjuntas, cerrado bolas de existir.

Cómo se construye? Si vamos a empezar a colocar los discos en un regular de la curva que se desconecta $\mathbb{R}^2$, como JMoravitz sugerido, su curvatura debe estar acotada lejos de cero, de lo contrario, considerando el conjunto de las tangentes a la curva tenemos que $N_l$ es ilimitado. Sin embargo, un habitual de la curva de tener curvatura apartó de cero tampoco es cerrado, entonces es encerrado en un solo disco, o se cruza una línea en un número infinito de puntos (como un caracol), por lo que el enfoque no funciona.

Así, vamos a intentar colocar las bolas a lo largo de círculos concéntricos. Podemos colocar $3$ bolas en el círculo unidad, $2\cdot 3$ bolas en el círculo con un radio de $3$, $2^2\cdot 3$ bolas en el círculo con un radio de $3^2$ y así sucesivamente, manteniendo el radio de las bolas siempre el mismo, $\frac{1}{2}$, y colocarlos en consecuencia, a la construcción del conjunto de Cantor en $S^1$:

De tal manera, una línea de $l$ a través del origen (así como una línea en la que pone lo suficientemente cerca del origen) es capturado casi seguramente por nuestra red, y $N_l$ está delimitado por algunos absoluta constante desde que la serie se $\sum_{n\geq 1}\frac{2^n}{3^n}$ es convergente. Pero, ¿cómo lidiar con líneas con una gran distancia desde el origen?

Entonces me pregunté: tal vez podamos recuperar JMoravitz el argumento se quita la condición de regularidad. Así que nos tomamos dos hipérbolas equiláteras, a continuación, tomamos muchos arcos circulares en estas hipérbolas y lugar de nuestras bolas de allí:

Con un extra de pelota en el origen de la captura de las asíntotas, esta configuración puede trabajar, es posible que el ajuste de los radios de las bolas como la distancia desde el origen de los aumentos, con el fin de evitar que una línea de $l$ paralelo a una asíntota tiene una desenfrenada $N_l$.

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A continuación, un posible camino para una disprueba. Se supone que hay un conjunto $S$ de distinto cerrado discos en $\mathbb{R}^2$ y una constante de $C\in\mathbb{Z}^+$ tales que cada línea en el plano intersecta al menos uno de los discos, pero no más de $C$ discos. Para cada $R>0$, hay un número finito de elementos de $S$ dentro de la región de $x^2+y^2\leq R^2$. De lo contrario, $S$ tiene un punto de acumulación $p$ en la región, y algunos de la línea a través de $p$ tiene una desenfrenada $N_l$ (esta es una parte delicada ). Esto implica que a $S$ es una contables set $^{(*)}$, por lo que cada línea en el plano puede estar asociada con un no-vacío es subconjunto de a $\mathbb{N}$ con $C$ elementos, que representa los discos se cumplen. Por lo menos extraño, ya que las líneas son una multitud innumerable mientras que $\mathbb{N}^C$ es una contables conjunto, y cada subconjunto de $S$ no puede representar a cualquier línea de fuera de su envolvente convexa. Si hacemos un mapa de cualquier línea que no pasa por el origen en un elemento de $\mathbb{R}^+\times S^1$, podemos definir la medida de un conjunto de líneas que la medida de Lebesgue de la representación del conjunto en $\mathbb{R}^+\times S^1$, a continuación, calcular la medida del conjunto de las líneas representadas por cualquier subconjunto de a $S$ con cardinalidad $\leq C$.

$^{(*)}$: en particular, mediante la proyección de los elementos de $S=\{s_1,s_2,\ldots\}$ en el $x$-eje, tenemos que $\sum_{n\geq 1} r_n$ donde $r_n$ es el radio de la $s_n$, debe ser un divergentes de la serie. De lo contrario, hay una cierta línea vertical que puede ser capturado por $S$.

Con la línea anterior-identificación de los puntos, es útil para entender lo que son las líneas capturado por un único disco:

así, suponiendo que la distancia del centro de la $s_n$ desde el origen es$d_n$$d_n\gg r_n$, la medida de la captura de las líneas es de alrededor de $2\pi\, d_n r_n$ (mediante la aproximación de la epitrochoid con un anillo). Es interesante considerar la intersección entre la región sombreada y la unidad de disco tiene centro en el origen: debido a que cada línea tiene que ser capturada por no más de $C$ discos, que los sectores en la unidad de disco no puede superponerse demasiado. Así que tenemos que $$\sum_{n\geq 1}\frac{r_n}{d_n}$$ es convergente la serie, y: $$\prod_{n\geq 1}\left(1-\frac{r_n}{d_n}\right)$$ es un no-cero convergente producto. Si nos remontamos a la "Cantor" red de configuración, que da una línea que pasa por el origen tiene una probabilidad positiva para escapar de todos los discos se colocan a lo largo de un círculo centrado en el origen. Por lo tanto, con el fin de capturar a estos "fugitivo líneas", algún elemento de $S$ debe adjuntar el origen. Y ahora, boom: el origen es un punto arbitrario, por lo que nuestro sistema $S$ tiene que ser denso en $\mathbb{R}^2$. Densa y cerrada. Así que, finalmente:

$S$ no existe.