Es mi prueba correcta para: $\sqrt[7]{7!} < \sqrt[8]{8!}$

Question

Tengo que demostrar que

$$\sqrt[7]{7!} < \sqrt[8]{8!}$$

y tenía que hacer los siguientes pasos

\begin{align} \sqrt[7]{7!} &< \sqrt[8]{8!} \\ (7!)^{(1/7)} &< (8!)^{(1/8)} \\ (7!)^{(1/7)} - (8!)^{(1/8)} &< 0 \\ (7!)^{(8/56)} - (8!)^{7/56} &< 0 \\ (8!)^{7/56} \left(\left( \frac{7!}{8!} \right)^{(1/56)} - 1\right) &< 0 \\ \left(\frac{7!}{8!}\right)^{(1/56)} - 1 &< 0 \\ \left(\frac{7!}{8!}\right)^{(1/56)} &< 1 \\ \left(\left(\frac{7!}{8!}\right)^{(1/56)}\right)^{56} &< 1^{56} \\ \frac{7!}{8!} < 1 \\ \frac{1}{8} < 1 \\ \end{align}

Qué puedo hacer esto correctamente? Es de esta manera que la mejor manera o hay otra manera mucho más fácil?

Muchísimas gracias!

Answer 1

La prueba es correcta, pero tal vez un poco más elaborados.

Cómo acerca de:

\begin{align} &&\sqrt[7]{7!} &< \sqrt[8]{8!}\\ \iff&&(7!)^8 &< (8!)^7\\ \iff&&(7!)^7 7! &< (8\cdot 7!)^7\\ \iff&&7! &< 8^7 \end{align}