Encontrar $ \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{2n}{(n+2i)^2}} $

Question

Encontrar $$ \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{2n}{(n+2i)^2}}.$$

He intentado dividir a través de por $1/n^2$ y varios otros algebraicas trucos, pero no parecen hacer cualquier progreso en este límite. Wolfram Alpha da el valor de $2/3$, pero yo no podía entender su derivación. Cualquier idea es bienvenida.

Answer 1

La expresión $$ \sum_{i = 1}^n \frac{2n}{(n+2i)^2} =\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \frac{2}{(1+\frac{2}{n})^2} $$ es la suma de Riemann de la función $f(x)= \frac{2}{(1+2x)^2}$ sobre el intervalo de $I = [0,1]$, que corresponde a la partición uniforme de $I$ a $n$ a partes iguales. Desde $f$ es Riemann-integrable (por ser una función continua sobre un cerrado y acotado intervalo), esta suma se aproxima a la integral de la $f$$I$$n \to \infty$. Es decir, $$ \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \frac{2}{(1+\frac{2i}{n})^2} &=& \int_0^1 \frac{2}{(1+2x)^2} \mathrm{d} \, x \\ &=& \left. -\frac{1}{1+2x} \right|_{x=0}^{x=1} \quad = \quad \frac{2}{3}. \end{eqnarray*} $$

Answer 2

También puede utilizar Euler-Maclaurin de totalización.

El primer orden de Euler-Maclaurin fórmula dice $$\sum_{i=1}^n f(i) = \int_1^n f(x) \, dx + {f(1) + f(n) \over 2} + \int_1^n f'(x) \left(x - \lfloor x \rfloor - \frac{1}{2}\right)\,dx.$$

Desde $|x - \lfloor x \rfloor - \frac{1}{2}| \leq 1$, $f(x) = \frac{2n}{(n+2x)^2}$ tenemos $$\sum_{i=1}^n \frac{2n}{(n+2i)^2} = \int_1^n \frac{2n \, dx}{(n+2x)^2} + R_n,$$ donde $|R_n| \leq \left|\frac{3f(n) - f(1)}{2}\right| = \left|\frac{3}{n} - \frac{n}{(n+2)^2}\right|$.

Por lo tanto, $$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{2n}{(n+2i)^2} = \lim_{n \to \infty} \int_1^n \frac{2n \, dx}{(n+2x)^2} = \lim_{n \to \infty} \left[\frac{-n }{n+2x} \right]_1^n = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{3} + \frac{n}{n+2}\right) = \frac{2}{3}.$$