¿Es esto posible? AB- BA=I

Question

Acabo de empezar con los funcionales lineales cuando me encontré con el siguiente problema:

Si $A$ y $B$ son $n \times n$ matrices complejas, mostrar $AB - BA=\Bbb{I}$ es imposible.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Para una matriz $A=[a_{ij}]$ de tamaño $n\times n$ , su rastro $Tr(A)$ se define por $$Tr(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}$$ . Usted mismo puede comprobar que $$Tr(AB)=Tr(BA)$$ y que $$Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)$$

Por lo tanto, si $AB-BA = \Bbb I$ entonces tenemos $$n=Tr(\Bbb I)= Tr(AB-BA)= Tr(AB)-Tr(BA) = 0$$ que es imposible.

Answer 2

Mira el rastro de $AB$ y el rastro de $BA$

Answer 3

Se puede ver, por ejemplo, que

$$\mathrm{Tr}(AB) - \mathrm{Tr}(BA) =0\neq \mathrm{Tr}(\mathrm{I}_n)=n$$