Acabo de empezar con los funcionales lineales cuando me encontré con el siguiente problema:
Si $A$ y $B$ son $n \times n$ matrices complejas, mostrar $AB - BA=\Bbb{I}$ es imposible.
¿Puede alguien ayudarme?
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- $AB-BA=I$ no tener soluciones (2 respuestas )
Respuestas
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Para una matriz $A=[a_{ij}]$ de tamaño $n\times n$ , su rastro $Tr(A)$ se define por $$ Tr(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii} $$ . Usted mismo puede comprobar que $$ Tr(AB)=Tr(BA)$$ y que $$ Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) $$
Por lo tanto, si $AB-BA = \Bbb I$ entonces tenemos $$n=Tr(\Bbb I)= Tr(AB-BA)= Tr(AB)-Tr(BA) = 0 $$ que es imposible.
freethinker
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Zanzi
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Una pista: $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ .
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Como otros han insinuado, la huella del conmutador $AB-BA$ es necesariamente cero (a diferencia de $I$ ). De hecho, esta es la única restricción de las posibilidades de $AB-BA$ como se explica en la respuesta a este Pregunta anterior .
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Los estudiantes más avanzados pueden investigar las matrices sobre campos de característica positiva.
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@GEdgar : ¿podrías explicarte mejor?
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@Qwerty Si $n$ es un múltiplo de la característica de $F$ entonces el $n\times n$ matriz de identidad sobre $F$ tiene rastro $n\cdot 1_F = 0$ . Así que en ese caso, mirar el rastro no resuelve la cuestión.
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La respuesta aceptada se contradice $n=0$ . Pero, ¿y si $n$ es cero en el campo? (Por ejemplo, $2=0$ en el campo con dos elementos). A continuación, $n=0$ no es una contradicción. Es $AB-BA=I$ ¿todavía es imposible?
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@DanielFischer : Por lo tanto, concluyo que el $F$ tiene que ser $\Bbb{R}$ con el fin de mirar sólo el rastro sea suficiente .. ¿Estoy en lo cierto?
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Suponemos que su pregunta se refiere a $\mathbb R$ . Eso está bien. Los estudiantes más avanzados pueden volver a esta cuestión más adelante, cuando hayan tratado con campos de característica positiva.
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Para cualquier campo de la característica $0$ es suficiente con mirar el rastro, que también podría ser, por ejemplo $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{C}(X)$ .
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Ver también este puesto y otras preguntas enlazadas allí .