Ejemplos de subespacios cerrados de Baire para espacios que no se Baire?

Question

Estoy buscando algunos buenos ejemplos de espacios de Baire que contiene subespacios cerrados que no se Baire.

Claramente, $X$ no debe satisfacer uno de los estándar de hipótesis para la categoría de Baire teorema de compacidad local o completa metrizability o Čech integridad debido a todas estas propiedades son hereditarias con respecto a los subespacios cerrados.

Un ejemplo interesante de Baire metrizable espacio que no puede ser completamente metrizable es dado en una respuesta a ¿cuáles son algunos ejemplos de motivación de exóticos metrizable espacios. Este ejemplo contiene $\mathbb Q$ como un subespacio cerrado.

Sería agradable ver algunos ejemplos.

Añadido: yo preferiría tener ejemplos de la alta regularidad (al menos Hausdorff, preferiblemente de Tychonoff).

Gracias!

Answer 1

Si yo a la derecha entiende la notación del libro "espacios de Baire" por R. C Haworth y R. A. McCoy, a continuación, hay un ejemplo simple de un espacio de Baire $\mathbb{ R^2\setminus ((R\setminus Q)\times \{0\}})$ con el cierre de la no-Baire subconjunto $\mathbb Q\times\{0\}.$

Answer 2

Considerar la topología euclidiana $\tau$ en los racionales y algún punto de $x$ que no está contenida en $\mathbb{Q}$. El espacio de $Q := \mathbb{Q} \cup \{x\}$ con la topología $\tau' := \{ O \cup \{x\} : O \in \tau \} \cup \{ \emptyset \}$ es un espacio de Baire ya que {x} es denso y contenidos en cada subconjunto denso de $Q$ - por lo que cualquier intersección de los subconjuntos densos de $Q$ es de nuevo densa. Además $\mathbb{Q}$ es un subespacio cerrado de $Q$ que no se Baire - lo $(Q,\tau')$ proporciona un ejemplo a su pregunta.