Definición de límite de Banach

Question

En mi tesis de licenciatura he definido un límite de Banach como una funcional $\operatorname{LIM} : l^\infty (\mathbb{N})\rightarrow \mathbb R$ que tiene las siguientes propiedades:

B1 Si $(x_n)$ es una secuencia convergente, entonces $\operatorname{LIM}(x_n)=\lim_{n\to \infty} x_n.
B2 Si $x_n\geq 0$ para todo $n\in\mathbb N$, entonces $\operatorname{LIM}(x_n)\geq 0.
B3 $\forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}\forall (x_n),(y_n)\in l^\infty(\mathbb{N})[\operatorname{LIM}(\alpha (x_n)+\beta (y_n)) = \alpha \operatorname{LIM}((x_n)) + \beta \operatorname{LIM}((y_n))].
B4 Si $y_n=x_{n+1}$ para todo $n\in\mathbb{N}$, entonces $\operatorname{LIM}((x_n))=\operatorname{LIM}((y_n)).

Mi tutor pensó que la condición B2 podría no ser necesaria, porque tal vez se seguía de las otras condiciones. He buscado muchas definiciones de límites de Banach, pero todas son un poco diferentes, lo que a veces dificulta la comparación. Pero parece que la mayoría de las veces, las condiciones son al menos tan fuertes como las mías.

No he podido demostrar que B2 es necesaria, ni he podido encontrar un contraejemplo. ¿Alguien puede decirme si las otras tres condiciones son suficientes? Si no, ¿puedes darme un contraejemplo?

Supuse que tal vez no he podido encontrar un contraejemplo, porque solo hay contraejemplos no constructivos.

Answer 1

Supongamos que $L_1$ y $L_2$ son dos límites de Banach que no están de acuerdo en alguna secuencia positiva $\vec{a} = \langle a_n : n \geq 1\rangle \in l^{\infty}$. De hecho, escalando el ejemplo dado a continuación, podemos suponer que $L_1(\vec{a}) = 1$ y $L_2(\vec{a}) = 3$. Entonces $2L_1 - L_2$ es un contraejemplo.

Para construir dichos $L_1, L_2$, primero obtenemos una secuencia $\vec{a} = \langle a_n : n \geq 1\rangle$ tal que $a_n > 0$, $|a_{n+1} - a_n| < 1/n$ y $\{a_n : n \geq 1\}$ sea el conjunto de todos los racionales positivos en $[0, 1]$. Luego, utilizando el teorema de Hahn Banach, demostramos que para cada $0 < x < 1$, existe un límite de Banach que envía $\vec{a}$ a $x$.

Answer 2

Recomiendo en contra de B2 por razones de diseño lógico.

Dado que estás estudiando series y límites, probablemente has visto esta serie, 1 + 2 + 3 + 4 .... Dependiendo de tu definición de suma infinita, es consistente definir $$\sum_{k = 1}^\infty k = -\frac 1{12}$$

como Ramanujan argumentó a G H Hardy.

Podríamos definir $(\forall k) X_k \ge 0 \Rightarrow (\sum_{k=1}^\infty X_k) \ge 0$, y aceptar que las series divergentes no tienen suma. Podríamos definir $a + b \ge a$ y aceptar que los números negativos no tienen suma. Podríamos definir B2 y aceptar que LIM no existe para secuencias divergentes, pero realmente no hay mucho que ganar con eso. Tan bien puedes tener un teorema $\text{convergente}(x) \Rightarrow B2$, y tener un axioma menos en tus definiciones y mucha más flexibilidad.