¿Por qué $\sum a_i \exp(b_i)$ ¿siempre tienen raíz?

Question

Dejemos que $z$ sea complejo. Sea $a_i,b_i$ sean polinomios de $z$ con coeficientes reales. También el $a_i$ son distintos de cero y las partes no constantes de los polinomios $b_i$ son distintos.

Dejemos que $j > 1$ .

$$f(z) = \sum_{i=1}^j a_i \exp(b_i)$$

Parece que siempre existe un valor complejo $s$ tal que

$$ f(s) = 0$$

¿Es esto cierto? Si es así, ¿por qué? ¿Cómo se puede demostrar esto? Si es falso, ¿cuáles son los contraejemplos más sencillos?

Answer 1

Esto se deduce de la teoría de las funciones enteras de orden finito en el análisis complejo. En concreto, tenemos:

Propuesta : Supongamos que $f(z) = \sum_{i=1}^j a_i \exp b_i$ para algunos polinomios $a_i,b_i$ (que pueden tener coeficientes complejos, aunque la pregunta especifica polinomios reales). Entonces, si $f\,$ no tiene ceros complejos, entonces existe un polinomio $P$ tal que $f = \exp P$ .

Prueba : dejar $d = \max_i\max(\deg a_i,\deg b_i)$ . Si $d \leq 0$ entonces $f$ es constante y podemos elegir para $P$ un polinomio constante. Si no, existe una constante $A$ tal que $\left|\,f(z)\right| \leq \exp(A\left|z\right|^d)$ para todos los complejos $z$ . Esto hace que $f$ un todo de orden como máximo $d$ . Si $f$ no tiene ceros, entonces $f = e^g$ para alguna función analítica $g$ , y se deduce que $g$ es un polinomio (por un caso especial del producto de Hadamard para una función entera de orden finito). $\Box$

Además, una vez que ponemos la expansión $f(z) = \sum_{i=1}^j a_i \exp b_i$ en forma normal asumiendo que cada $b_i$ desaparece a cero (si no, resta $b_i(0)$ de $b_i$ y multiplicar $a_i$ por $e^{b_i(0)}$ ), entonces al menos uno de los $b_i$ es $P-P(0)$ y podemos cancelar y combinar combinar términos para identificar $f$ con $\exp P$ . La prueba (considerando el comportamiento para grandes $|z|$ ) es algo tedioso, aunque mucho más fácil en el caso real [pista: empezar escribiendo $f(z) \, / \exp P(z)$ como $\sum_{i=1}^j a_i \exp (b_i-P)$ ]. En particular, si $j>1$ y no hay dos $b_i$ difieren en una constante entonces $f$ no puede ser igual $\exp P$ y por lo tanto debe tener ceros complejos.