Se comprueba fácilmente que la función de $$\begin{cases} \exp \left(\frac{1}{x^2-1} \right) & |x| < 1 \\ 0 & \text{otherwise} \\ \end{cases}$$ es liso y compacto apoyo en $\mathbb R$. Traté de jugar con él para encontrar una función con las siguientes propiedades:
una. $f(x)=0$ $x \le 0$
b. $f(x)=1$ $x \ge 1$
c. $f$ es monótonamente creciente.
d. $f$ es suave.
Es posible encontrar una fórmula explícita para tal $f$?
Deje $$h(x) = \left\{\begin{array}{c} 0 & x \leq 0 \\ e^{-1/x} & x > 0 \end{array} \right. $$
A continuación, considere la posibilidad de $$ g(x) = \frac{h(x)}{ h(x) + h(1-x)} $$
Es suave porque es la relación de las funciones lisas con el denominador nunca se $0$.
Para comprobar que está aumentando, podemos calcular el signo del numerador de $g'(x)$ usando la regla de cocientes entre el $0 < x < 1$:
$$\begin{align} N g'(x) = & h'(x)(h(x) + h(1-x)) - h(x)(h'(x) + h'(1-x)) \\ = & \frac{1}{x^2} h(x) h(1-x) + \frac{1}{(1-x)^2} h(x)h(1-x) \\ > & 0 \end{align}$$
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