Definición de una progresión geométrica

Question

Es la secuencia de las $0, 0, 0, 0 ...$ geométrica? Si es así ¿cómo definirías? Con el fin de definir una progresión geométrica que necesita el primer término, y la relación de los términos. En este caso, usted podría tener:

$a = 0$
$r = k$ algunos $k \in \mathbb{R}$

Es esto todavía geométrica, aunque una única definición no existe (no variable $r$)?

EDIT: Esto es un debate interesante. Pero también se puede decir que el $0, 0, 0, 0 ...$ es una progresión aritmética. Así que a todos los que están diciendo que es geométrica, puede una secuencia de estar tanto a la geometría y de la aritmética?

Answer 1

En última instancia, dependerá de lo que considere la definición de una serie geométrica, como se puede ver por las otras respuestas aquí. Si la definición se basa en el cálculo de una razón común $r = a_{k+1}/a_k$, entonces usted va a ejecutar en la división por $0$.

Usted puede evitar que el problema diciendo que una sucesión geométrica es uno de cuyos términos obedecer a la propiedad $a_ka_{k+2} = a_{k+1}^2$. Otra forma es definir la secuencia como $a_k = cr^k$.

Personalmente, yo diría que la secuencia de $0,0,0,\ldots$ es una progresión geométrica de la misma manera que un punto es un círculo de radio $0$.

Answer 2

Sólo para jugar al abogado del diablo, aquí están algunos de los teoremas que perdemos si nos permiten una secuencia que termina en ceros a ser geométrica:

• Una progresión geométrica converge si y sólo si el factor común es en $(-1,1]$. (Contraejemplo: $0\cdot 2^{n-1}$ hace converger).

• Una progresión geométrica tiene una suma si y sólo si el factor común es numéricamente menor que $1$. (Contraejemplo: $0\cdot 2^{n-1}$ tiene una suma).

• Si $(a_n)$ $(b_n)$ son progresiones geométricas y, para algunos, $i$ tenemos tanto $a_i=b_i$$a_{i+1}=b_{i+1}$, $a_i=b_i$ todos los $i$. (Contraejemplo: $0,0,0,\ldots$ frente al $1,0,0,\ldots$).

Pragmáticamente es probablemente más útil para excluir estas secuencias de ser "geométrica" de manera tal que las declaraciones de las propiedades generales pueden ser simples. Si tenemos que aplicar los teoremas en una situación en la que la secuencia puede ser degenerada, es muy sencillo de manejar degenerados de los casos por ad-hoc métodos.

Answer 3

Depende de la definición exacta, con @Atvin definición, no es geométrica. El uso de una alternativa de definición, por ejemplo, "una progresión geométrica que tiene la forma de $a_n = c r^{n-1},$ donde $c,r$ son constantes". Tomando $c=0$ genera la secuencia.

Answer 4

Usando la definición: $\frac{ a_{n+1}}{a_n} = q$

No puede ser una serie geométrica, ya que por definición se trata, de que $\frac{ a_{n+1}}{a_n} = q$(por cada $n \in \mathbb{N}$), donde $q$ cociente es fijo, pero en ese caso, usted tiene $\frac00$, lo que conduce a divising con $0$, y usted no puede hacer eso. :)

Answer 5

También podemos definir una progresión geométrica como cualquier secuencia tal que cada término ,después de que el primer término, es la media geométrica de su sucesor y predecesor.

En cuyo caso, la secuencia dada satisfacen esta definición.

Supongo que se trata de la definición que estamos utilizando.