¿Cómo es posible que $\infty!=\sqrt{2\pi}$?

Question

He leído de aquí que:

$$\infty!=\sqrt{2\pi}$$

¿Cómo es esto posible ?

$$\infty!=1\times2\times3\times4\times5\times\ldots$$

Pero \begin{align} 1&=1\\ 1\times2&=2\\ 1\times2\times3&=6\\ &~\vdots\\ 1\times2\times3\times\ldots\times50&=3.0414093201713376\times10^{64} \end{align}

Esta es, obviamente, el aumento, entonces, ¿cómo factorial de $\infty$ se $\sqrt{2\pi}$ ?

Answer 1

Está tomado de $$ 1\cdot2\cdot3\cdot \ldots \cdot n= n!$$ Esta es la exponencial de $$ \ln(1)+\ln(2)+\ln(3)+ \ldots + \ln(n) = \ln(n!) $$ Ahora, si usted escribe formalmente la derivada de la de Dirichlet de la serie de zeta, a continuación, usted tiene $$ \zeta'(s) = {\ln(1) \over 1^s}+{\ln(1/2) \over 2^s} +{\ln(1/3) \over 3^s} + \ldots $$ Esto es para algunos s convergente y a partir de ahí puede ser analíticamente siguieron $s=0$ como bien de donde la expresión formal se reduce a $$ \zeta'(0) = -(\ln(1) +\ln(2) +\ln(3) + \ldots )$$ que es formalmente idéntica a $ - \lim_{n \to \infty} \ln(n!)$ .

Ahora la pendiente de zeta en cero puede numéricamente se aproximó y le da un número concreto $\zeta'(0) \approx -0.91893...$. También puede analíticamente se determina la igualdad de $\ln(1/\sqrt{2\pi})$ .

Finalmente, dado que el notaciones formales coinciden (a excepción de la señal) de uno va a escribir la exponencial de este valor para convertirse en la "regularización" valor de la infinita factorial.