Una hermosa límite que involucran números primos y compuestos

Question

He observado el siguiente límite empíricamente. Deje de $p_n$ ser $n$-th primer y $c_n$ los $$n-ésimo número compuesto, entonces,

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{p_n c_n}{p_n c_n + p_i c_i} = \frac{\pi}{4}. $$

Estoy en busca de una prueba.

Answer 1

Resulta que

1. El límite es la correcta, pero
2. No es decir cualquier cosa que es muy especial para los números primos y compuestos.

Tenga en cuenta que (inspirado por DonAntonio respuesta) $$ \lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k=1}^n \frac{n^2}{n^2 + k^2} = \lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{\pi}{4} $$

Lo que pasa es que $p_n$ y $c_n$ son (en un muy flojo nivel de aproximación) en el orden de $n$ cada uno, de modo que $p_n c_n$ es del orden de $n^2$, y por lo tanto su suma $$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{p_n c_n}{p_n c_n + p_k c_k} \approx \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{n^2}{n^2 + k^2}, $$ la aproximación de inflexión exacta en el límite.

Para probar esto de manera rigurosa, tenemos desde el primer número teorema, que $p_n \sim n\ln n$, o para ser más precisos $$p_n = n\left(\ln n + \ln\ln n - 1 + O\left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)\right) = n\left(\ln n + o(\ln n)\right).$$ De manera similar para el $n$th número compuesto de $c_n$, tenemos $$c_n = n\left(1 + \frac1{\ln n} + O\left(\frac{1}{\ln^2 n}\right)\right) = n\left(1 + o(1)\right).$$

Por lo que $$p_nc_n = n^2\left( \ln n + o(\ln n) \right).$$

Considere la posibilidad de un determinado valor de $\frac{k}{n}$ (digamos $\alpha$), de modo que $k = \alpha$ n. Entonces $$ \frac{p_kc_k}{p_nc_n} = \frac{k^2 (\ln k + o(\ln k))}{n^2(\ln n + o(\ln n))} = \frac{k^2}{n^2}\frac{\ln n + \ln \alpha + o(\ln n)}{\ln n + o(\ln n)} = \frac{k^2}{n^2}(1 + o(1)) $$

Por lo tanto $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{p_n c_n}{p_n c_n + p_k c_k} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1 + \frac{p_k c_k}{p_nc_n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1 + \frac{k^2}{n^2}(1 + o(1))} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{\pi}{4}. $$

Answer 2

Tenemos que

$$\lim_{n\to\infty}\,\frac1n\,\sum_{k=1}^n\frac n{n+k}=\lim_{n\to\infty}\,\frac1n\,\sum_{k=1}^n\frac1{1+\frac kn}=\int\limits_0^1\frac{dx}{1+x}=\log 2$$

Su suma no es, por supuesto, la de arriba, pero ressembles un poco, así que yo esperaría que su suma cercana a los us $\,\log 2\,$ que $\,\pi/4\,$ , en particular a partir de la diferencia entre estos dos números es menor que $\,1/100\,$ , pero no puedo asegurarlo.

Un programa simple que puede agregar automáticamente puede hacer algunas comprobaciones...