¿Cuál es la base para una prueba? Estoy tratando de entender lo que una prueba es, ¿cuál es el más simple ejemplo de una prueba? como se puede tener una 'prueba' para $1+1=2$?
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¿Qué es la prueba? Bueno, comúnmente en matemáticas esto significa que "una rigurosa argumento convincente" o una "prueba formal". Voy a hablar sobre el último aquí, y yo le específicamente tomar la axiomática enfoque a lo que es una prueba.
Bueno, en primer lugar, tenemos que entender qué es una "regla de inferencia". Una regla de inferencia es una regla que nos permite deducir una afirmación formal de las anteriores afirmaciones.
Por ejemplo, "Si $\alpha\land\beta$ [lea: $\alpha$$\beta$] son verdaderas, $\alpha$ es verdadero". Esto significa que si asumimos algo que tiene una cierta forma entonces está permitido derivar una cierta instrucción. Por ejemplo:
Usted está usando un abrigo negro. Por lo tanto usted está usando un abrigo.
Asumimos que usted está usando un abrigo y que el pelaje es negro, se deduce que usted está usando un abrigo. Parece trivial, pero en realidad las reglas de inferencia vienen a formalizar una muy trivial razonamiento, o citar el Señor Spock "Es lógico".
Ahora, ¿qué es una prueba?
Bueno... antes de hablar de que necesitamos un marco. Trabajamos con la lógica matemática. En este contexto hemos de símbolos para escribir nuestra prueba (por ejemplo, $\land$ es la letra "y"). Tenemos reglas de inferencia, y tenemos los axiomas de la lógica que son un poco como las reglas de inferencia, pero ligeramente diferentes. En menos mathy medio ambiente por lo general hay un montón de reglas de inferencia y menos axiomas; mientras que en el curso que tomé en mi carrera había muchos axiomas, pero sólo una regla de inferencia.
En la lógica matemática también tenemos reglas que nos diga qué tipo de cadenas son válidas las fórmulas, frases o términos en el idioma. Mucho como la "Silla de mí perro" no es una de las frases en inglés. Nosotros sólo nos preocupamos de la sintaxis, sobre la forma, no el contenido. Tonterías como "me comí el invisible presidente de la cena de anoche." es sintácticamente correcta, pero no tiene ningún sentido-no nos importa. Así jurídico de las cadenas de caracteres se denominan fórmulas o frases. Fórmulas y frases describen algunas relaciones o propiedades de los objetos. Términos también son válidas las cadenas de letras en el lenguaje, sino aquellos a describir los objetos en lugar de propiedades.
Así que ahora podemos llegar al punto? ¿Qué es una prueba matemática??
Bueno, una última cosa antes de llegar a eso. Axiomas, podemos demostrar que las cosas a partir de los axiomas. ¿Cuáles son los axiomas? Los axiomas son simplemente frases que podemos asumir para ser verdad. Ni siquiera pueden tener los axiomas, en cuyo caso podemos demostrar algo a partir de los axiomas de la lógica y las reglas de inferencia, y luego lo que hemos demostrado es siempre cierto en este marco.
Ahora podemos llegar al punto!
¿Qué es la prueba? Bien, vamos a comprobar $\varphi$ a partir de una colección de axiomas $T$. Esto significa que hay un finito secuencia de sentencias $\varphi_1,\ldots,\varphi_k$ tal forma que:
- $\varphi_k=\varphi$, terminamos con lo que queríamos demostrar.
- Para cada $i<k$, $\varphi_i$ es o bien un axioma (sentencia de $T$) o se deriva de las anteriores declaraciones usando los axiomas de la lógica y las reglas de inferencia.
Ahora para dar un buen ejemplo voy a tener que ser específico y contar cuáles son los símbolos, ¿cuáles son las reglas de inferencia, la lógica de los axiomas, las reglas para la creación de frases y fórmulas, ¿cuáles son los axiomas y lo que queremos demostrar a partir de ellos...
Bueno, esto es un poco demasiado para un solo post a esta hora. Sin embargo, usted debe ir a su biblioteca más cercana y abrir un libro acerca de la lógica matemática, de preferencia un libro introductorio.
Se plantea una pregunta, si eso es lo que usted necesita para escribir una prueba, ¿por qué este sitio no esta llena de esos puestos? Así, en matemáticas hay una gran diferencia entre una prueba formal y una rigurosa prueba. Los matemáticos [generalmente] atención acerca de rigor, en lugar de absoluta formalidad. También el intercambio de estos dos términos que con más frecuencia de lo que deberían.
Sin embargo demostrando algo rigurosamente sólo significa explicar cómo la prueba debe verse como, en palabras o símbolos. El marco de fondo es a menudo acordado "silenciosamente" en el fondo, y se lleva a la práctica, sino que uno por lo general puede hacer la necesaria interruptores sin mucho aviso.
Por último, cuando dices que "se puede tener una prueba de que $1+1=2$?", la respuesta es sí, pero ¿en qué contexto? Es el contexto de los números naturales con sus axiomas (las propiedades asumimos números naturales), o es en el contexto de los números reales con los axiomas de esos?
Los dos sistemas son muy diferentes, y pruebas - incluso de la misma reclamación en diferentes marcos pueden ser muy diferentes.
Sin embargo en este caso no demasiado diferentes. Utilizamos el símbolo $2$ a abreviar el término formal $1+1$. Por lo tanto la prueba sería relativamente corto.
jasonjwwilliams
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België y Asaf han respondido a la pregunta suponiendo que la "prueba" significa "prueba formal". André se indica en los comentarios, hay una noción informal de la prueba: Una prueba es un argumento convincente de que un hecho es verdadero.
Oficialmente, todo lo que cuenta es la prueba formal. Por otro lado, casi todas las pruebas que uno se encuentra son informales (aunque, al menos en teoría, pueden ser traducidas en pruebas.)
He aquí un ejemplo de un informal de la prueba. Voy a comenzar con algunas definiciones
Definición: un "entero", nos referimos a cualquier número de la forma $0, \pm 1, \pm2 , \pm 3,...$. (Así, algo como $\frac{2}{3}$ o $\pi$ no es un número entero.)
Definición: Si $n$ es un número entero, decimos "n es incluso" si hay otro entero $k$ con la propiedad de que $2k = n$.
Teorema: El número de $n=6$ es incluso.
Prueba: para probar esto, tenemos que encontrar un entero $k$ con la propiedad de que $2k = 6$. Bien, $k=3$ obras, por lo $n=6$ es incluso. $\square$
(El símbolo $\square$ se utiliza a menudo para indicar el final de una prueba.)
Ok, eso me parece una pérdida de tiempo. Pero, ¿qué hemos ganado? Ya No estamos dependiendo de alguien palabra que 6 es incluso. Ahora sabemos que es cierto. Ok, todavía parece una pérdida de tiempo.
Aquí hay otra.
Teorema: Si $n$ es incluso y $m$ es par, entonces es $m+n$.
Prueba: Tenemos que demostrar que podemos escribir $m+n = 2k$ para algunos entero $k$. Por supuesto, desde la $m$ incluso $m = 2a$ para algunos entero $a$. (No estoy usando $k$ ya que quiero usar esa carta para otro propósito más adelante). Desde $n$ es incluso, $n = 2b$ para algunos entero b.
A continuación, $m+n = 2a + 2b = 2(a+b)$. Así que, si dejo $k = a+b$ (que todavía es un entero), entonces este es el $k$ que estoy buscando. Esto demuestra que $m+n$ es incluso. $\square$
Ahora, ¿qué he ganado? Antes de esta prueba, usted pudo haber experimentado con muchos números, sumándolas y la observación de que usted siempre tiene un número par. (Por ejemplo, $2+6 = 8$, $14+ 290 = 304$, etc.)
Pero incluso si se va a pasar toda tu vida a la comprobación de que la adición de números juntos da evens, no hay ninguna garantía de que no son los números que se suman a un sin-número. Tal vez sucede muy rara vez que 2 pares añadir hasta un no-incluso, tal vez lo que necesita para comprobar un caso más para encontrar que esquiva el ejemplo.
La prueba demuestra que no importa que los 2 números que usted escoja, su suma es par. Garantiza que tus ejemplos no son casualidades, que están pasando por una razón y que va a pasar en cada momento.
Ahora, permítanme señalar una dificultad potencial de esta prueba. A la derecha, donde me dice ... " $k = a+b$ (lo cual es todavía un número entero)..." - ¿por qué es todavía un número entero? La respuesta a esta pregunta va a depender de lo que los axiomas que están trabajando y que esto va a volver a lo que Asaf y België estaban diciendo.
Belgi
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No entiendo bien lo que quieres decir por "¿Cuál es el más simple prueba para comprender qué es la prueba?" si usted quiere saber lo que una prueba está en el sentido formal, usted tendrá que leer algo de la lógica matemática.
Para mantenerlo simple, una prueba es una lista de instrucciones a partir de un conjunto de hipótesis, de tal manera que cada instrucción tiene una declaración anterior de que se trata de (o por el contrario es una suposición) y la última declaración es lo que han demostrado (si, por ejemplo, la última línea es$1+1=2$, entonces usted lo demostró).
La respuesta a la segunda pregunta "¿se puede tener una 'prueba' de que 1+1=2 ?", es que sí. Si quieres demostrar que usted primero necesita preguntarse a sí mismo ¿qué es $1$ ? ¿qué es $2$ ? ¿qué es $1+1$ ? y entonces usted desea comparar ambos lados. Me respondió que la mayoría de estas preguntas en detalle antes de aquí.
ytg
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Usted probablemente se estará preguntando acerca formal de la prueba matemática o tal vez usted está confundido acerca de cómo trivial hechos matemáticos como 1+1=2 puede ser probada. En ese sentido se debe recordar que una prueba es significativa sólo en relación a una prueba formal del sistema. Una cadena de $\pi$ es una prueba para una declaración de $\varphi$ si el par es aceptado por el sistema a prueba de (pensar en un sistema a prueba de un algoritmo/programa de computadora que consigue $\pi$ $\varphi$ y devoluciones de SÍ o NO. Normalmente un sistema a prueba debe ser sonido, es decir, falsas declaraciones no deberían tener pruebas).
Si su pregunta es más filosófica, entonces primero debe decir ¿qué significa para ti $1$, $2$, $+$, y $=$ (y hay varias opiniones acerca de estos entre los filósofos de las matemáticas y los matemáticos, filósofos). ¿Cómo podemos responder a la pregunta de si no se ha pactado en el significado de estos símbolos?
Si los interpretan como símbolos en el lenguaje de una teoría aritmética como PA o ZFC, a continuación, su pregunta es fácil de contestar. He aquí dos ejemplos:
En el caso de PA, $2$ se define como $S(S(0))$ $1$ se define como $S(0)$ $+$ se define recursivamente como $x+0=x$$x+S(y)=S(x+y)$; y la pregunta es para mostrar que $S(S(0))=S(0)+S(0)$ que no es difícil. El símbolo $S$ es el símbolo para el sucesor.
En caso de ZFC, $0 = \emptyset, 1 = \{0\}$ $2=\{0,1\}$ y etc y de nuevo la prueba no es difícil.
Para hablar de una prueba formal debemos fijar el significado de los símbolos y de la teoría, una prueba formal fuera de cualquier sistema a prueba no tiene sentido. A menudo la gente omite la mención explícita de que el sistema formal porque es claro por el contexto, pero está ahí.
Muchos interpretan la cuestión preguntando acerca de una prueba formal dentro de una teoría sobre los símbolos, como en el anterior (un poco formalista de vista de las matemáticas), pero que no es la única manera. Hay otros enfoques donde la lingüística formal/entidades no son la principal preocupación de las matemáticas, pero secundario medios utilizados para los fines propios de la comunicación de los resultados matemáticos a los demás, etc. Constructivo de las matemáticas y el Platonismo son dos de los famosos puntos de vista. (Y honestamente, ¿conoces a alguien que cree en $1+1=2$ a causa de una prueba formal en el PA o de ZFC?). Por ejemplo, el BHK interpretación de (constructiva) de las pruebas.
Sin embargo, si usted está pidiendo más general acerca de lo que es una prueba, creo que la siguiente historia es relevante:
En 1978, como estudiante de pregrado, asistí a Shimon curso de Algoritmos de Gráfico. En algún momento, uno de los estudiantes estaba molesto por Shimon "no tradicional" forma de análisis de algoritmos, y preguntó si Shimon demostraciones constituía una prueba y si es así ¿qué es una prueba. Shimon respuesta fue inmediata, a corto y claro: Una prueba es lo que me convence. [Historias sobre Shimon Incluso por Oded Goldreich]
